用图形计算器进行函数教学的课例

主题词 函数应用 图形计算器

一、问题的提出

在普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）第一册（上）第108页练习中有这样一道题：

以下是某城市近5年旅游高峰期日平均接待游客人数情况表: 单位: 万人

该城市的饭店现在每天最大接待量为6.20万人．如果按目前旅游的发展趋势,该城市要在今后3年内加强饭店建设,使饭店的接待量能承受旅客人数的增长,那么今后3年平均每年饭店的床位至少要增加百分之几?

这是一个函数的应用问题，函数的应用是函数部分一个重要的内容,学生学习函数的应用,目的就是要利用所学的函数知识分析问题、解决问题．在传统的教学中，函数应用我们遵循这样一种模式：

函数解析式描绘函数图象探求函数性质函数的应用．

但在现实生活中，我们往往是知道大量的文字、数据信息，如何对这些文字、数据进行科学的处理，既而建立数学模型，再应用数学模型解决相关的问题呢？当代中学生首先应该具备一定的处理数据信息的能力，才能适应时代发展的需要．在新编写的教材中，编者也注意到了这一点，无论是例题还是在习题中都增加了有关数据处理的题目，用于训练学生这方面的能力．如§2.8节例1、§2.9节例1、复习参考题A组第18题等．在数据处理过程中，电子技术的发展给我们提供了极大的便利，如TI图形计算器的使用，就使这部分教材的处理变的容易多了．在教学实践中，我们先根据给定的数据用图形计算器画出散点图，再通过精确计算建立数学模型（解析式），然后依据数学模型解决实际问题．形成了一种新的函数应用模式：

数据图形 建模 解决问题．

二、问题的解决过程

在教学中我们始终坚持贯彻“学生动手为主，教师引导为辅”的原则，教师注重引导、帮助学生自主探索，最终由学生解决问题．

（一）、最初的尝试：通过初步的审题，许多同学确定这是一道有关平均增长率的问题，于是自然想到利用平均增长率的函数模型，即来解决．

（二）、思路受阻：根据题中所给数据：N已知，x已知，y未知，而p是题中所要求的量，所以欲求p必先求y．至此，问题转化为如何求解3年后的游客人数．可是怎样求呢？学生思路受阻 ．

（三）、探究过程：

教师引导：能否从题中表格所给前5年的游客人数来推测3年后的游客量呢？（学生讨论后作答）

生：可仿照例1处理数据的方式，将年代数设为x，游客人数设为y，建立函数关系式，再从解析式来求3年后的游客量．

师：很好，关键问题已找到---------建立年代与游客量的函数模型，具体应怎样操作？

生：把对应的五组数据(1,3.56),(2,4.78),(3,6.15),(4,7.68),(5,8.62)输入TI-83图形计算器,作出散点图,从散点图形态来选择某个类型的函数进行拟合．

师：好，按照这个思路请同学们具体进行操作．（学生以小组为单位，进行数据输入和图象的拟合）．

师：请各学习小组汇报拟合情况、函数解析式和据此所求3年后的游客人数．

图1

生1：我采用一次函数y = ax+b型拟合，得函数解析式为 y =1.302x+2.252,据此可求得3年后游客人数约为12.668万人．

图2

生2：我采用二次函数y = ax²+bx+c型拟合，得函数解析式为y = -0.0286x²+1.4734x+2.052,据此求得3年后游客人数约为12.0088万人．

图3

生3：我采用对数型函数y = a+blnx进行拟合，得函数解析式为y = 3.13+3.16lnx,求得3年后游客人数约为9.701万人．

图4

师:三位同学用不同的三种类型函数进行拟合,得到了不同的三个结果,那么到底哪个函数更能比较准确地反映实际的情况呢?同学们能否找出比较好的判断方法?

生: 我认为可以采取估计的方式来判断．首先从题中表格所给数据来看，第三年是6.15万人,第四年是7.68万人,而第五年已是8.62万人,由此估计,按这样的发展趋势,再过3年人数不可能才是9.701万人,所以可先将对数型函数排除．在余下的一次和二次函数中,从解析式来分析,二次函数是开口向下的抛物线,散点是落在递增的一段上,当它到达顶点处时会呈现出向下的趋势,这说明随着时间的推移,游客人数在到达一定的顶峰值后会逐渐减少,这与题目中的要求“按这样的发展趋势”是不相符的，因此也可以把二次函数排除．故我认为最佳的选择应该是一次函数．

师：分析得非常好，也具有一定的说服力，但感觉上过于主观，若能配以具体的数据支持，则力度会更强．同学们还有其它的判断方法吗？

师引导：我们看函数拟合得好不好，从图形中怎么看呢？

生：看散点是否尽可能多地落在拟合曲线上．

师接着引导：对，这是从图形上的直观感觉，我们知道，“数”和“形”是一对不可分离的整体，那能否把“散点尽可能多地落在拟合曲线上”这句话转化成“数”的形式呢？请大家思考．（此时，学生表情很着急，但又想不出，求知欲增强）

师：点应该与什么“数”对应呢？

生：坐标值．

追问：那曲线可和什么“数”产生对应关系呢？

生：函数和函数值．

师：好，那么请同学们考虑一下怎样把这两者联系在一起？

生：从图形上来看，有的点正好落在曲线上，有的点在曲线上偏上，有的在曲线上偏下．我想能否比较一下当取同一橫坐标值时，对应散点的纵坐标值与拟合曲线上点的纵坐标值进行对比，看一下误差有多大，取误差较小的一组，则拟合的效果就较好．

师：那怎么看误差值呢？

生：可以用纵坐标相减，作差进行比较．

师：那差值可能有正、有负、也可能为零，比较起容易看，能做一下改进吗？

生：那就再取一下绝对值，把差值都变为非负，就好比较了．

师：按这个思路，我们一起来实际操作一下．在教师的带领下（考虑到学生对图形计算器还不太熟）

一起将刚才拟合的三条曲线列表进行误差分析，如图所示，发现确实是一次函数一组的误差要小一些，因此断定一次函数拟合的效果较好．至此，本题的难点已突破，学生据此很快计算出了床位的平均增长率．

三、课例分析

在传统教学条件下教学和使用图形计算器进行教学对比分析

通过对比分析，可以看出，用图形计算器进行教学与传统条件下教学相比，优势明显．特别是对复杂数据计算和画图，人工做和用图形计算器做完全是两回事．随着社会的不断进步，人民生活水平的不断提高，电脑在各行各业的到广泛应用，包括图形计算器在内的先进电子设备进入课堂已成为现实，通过不断的探索实践，它们将在教学中发挥更大的作用．