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信息技术在数学教学中的使用方式


  信息技术的发展给数学教学带来了新的变化。它不仅是数学解决的重要工具,影响着数学教学的内容以及教学的目的和要求,同时作为强有力的数学认知工具,对教师的教和学生的学都产生着深远的影响。在信息技术环境下,教材、教师与学生如何以恰当的方式整合在一起,应是新课程改革的一个关键。

  下文结合案例的分析,就技术在教学中的使用方式提出一些看法,以求批评指正。

  一、先做后想再归纳
  有些数学概念,其规定往往“不近情理”;有些数学知识抽象复杂,其难度让人“望而怯步”。对此可充分发挥技术的优势,鼓励学生先针对问题利用技术自主地去“做数学”,在过程中充分感知、体会,并分析观察到的现象,从而在获取大量感性认识的基础上,形成对数学现象的理性认识,自然而深刻地领悟数学知识的实质与内涵。
这种“先做后想再归纳”的学习方式,使学生在学习知识的攀登过程中有了“脚手架”,符合人的认知规律,使数学显得更直观形象又自然可亲,有利于人人都能做数学、学数学、爱数学。

  案例1:指数函数的定义和性质
  【教材分析】
  指数函数的定义中对底数的规定,而函数性质的获得是教学中的一个难点,由于传统教学一方面难以自由地提供给学生大量的感性的特例进行充分的观察分析,获得“同感”;传统的黑板加粉笔的教学手段更难以充分展示底数连续变化时指数函数的符号、数表、图形等多种联系表示。从而使知识的产生过程有“强加于人”的味道,不利于学生知识的理解和掌握。
  借助于技术,利用技术绘制函数图象的快捷方便,营造符号、数字、图形、表格等多元的联系,为学生自主学习提供了可能,让学生真正地“做其所想、想其所做”,通过同学自己相互的合作讨论获得知识,通过自己的数学实验感悟数学是自然的,不是强加于人的。技术的使用促进了学生学习的主动性和创造性,促进学生之间的合作学习。
  【提出问题】
  幂的值由其底数和指数确定。一般地,当底数固定,而指数变化时,幂值也随之变化。设 。试取不同的值,通过图形计算器分析研究其的变化特征。
  【实验操作】
  学生利用TI-92图形计算器分组实验,每组四人,同组组员先分工后合作,自由选择底数,通过函数输入、描绘图象、列表显示进行分类研究。
  1.a>1

    
           
图1

  2.0< <1

    
                          
图2

  3.其它的值

    
图3

  【讨论分析】
  同组组员对实验结果进行汇总交流,共同探讨此类函数的特征,并形成他们自己的结论。由于没有一定之规,学生的观察与发现往往有其独创性。同时由于知识及思维的局限以及机器本身存在的一些问题,所得的结论也有一定的片面和错误,需通过合作讨论交流以相互补充和澄清。
  如对于底数小于或等于零的函数的定义域实验中,学生由于对自变量x取值时的初值和步长设置的不同而有一些不同意见,经过讨论最终形成一个较为一致的看法:这类函数的定义域不为R,如指数形如 (q为奇数,p为偶数)时函数就无意义,图象难以画出。对教材中不研究此类函数的原因自然颇有同感。
  还有的同学对一组函数的图象进行比较,从而在看似混乱无序中发现它们之间的变化规律。如当底数都大于1时,图象从左至右呈上升趋势,而且底数越大,图象越“陡”,反之却恰恰相反。又如对底数互为倒数的指数函数图象似乎关于Y轴有着某种对称性等等,借助于技术,这些发现都成为了现实的可能。

  二、 先想后做再反思
  对于那些基础的、有一定挑战性、思想性,易入手却又易出错的问题,可以鼓励学生先进行充分的思考与分析,或进行合情的推理猜想,然后再借助技术的实验进行检验评价。
  这种“先想后做再反思”的方式,一方面避免学生过分依赖于技术,而弱化思维的深度以及基本技能的掌握,体现技术使用的平衡性。另一方面也能让学生体验到思考成功的的乐趣,有利于发展自我反思与评价的能力。

  案例2  轨迹形状的探求
  在平面上,ΔABC的顶点C在定圆O上运动,顶点A,B固定,求ΔABC的重心G轨迹。
  【问题分析】
  求轨迹是几何中的一个基本问题,学生须切实掌握好轨迹的求法。传统的教学对轨迹的生成过程难以呈现,借助于技术却非常容易实现。但仅依赖技术,只求结果,不求甚解,则更不利于学生思维的发展和提高。

  【想】建立直角坐标系。设A、B、C、G的坐标分别(a,c)、(b,-c)、(rcos ,rsin )、(x,y),则由已知中求得轨迹的方程为                          
  所以G的轨迹是以点为圆心,为半径的圆。               
  【做】利用《几何画板》画出定圆O、ΔABC,作出ΔABC的重心G,固定A、B,使C点在圆运动,观察重心G的轨迹。(如图4所示)
  【反思】
  既知是“圆”,不妨另作他“想”:取线段OD的定比分点M,使M分OD的比为2,连接OC、MG,易得|GM|= |OC|= ,所以G点的轨迹是以M为圆心,为半径的圆。
  若再提出新问题:ΔABC的外心W的轨迹呢?学生开始往往想当然以为还是圆,教师不急于表态,通过计算机演示图5的情形,却发现结果是一条线段,出人意料,但细一思量,外心必在定线段AB的垂直平分线上,结果亦在情理之中。就此教师提出进一步的问题:如果改变线段AB与圆的相对位置,外心W的轨迹还是一条线段吗?
  一石击起千层浪,学生重新投入对问题的思考,并提出各种可能的情形:两条射线、一条直线、一条射线、一个点。(如图6~9所示)
  然后教师再要求学生通过计算机移动AB的位置,一一加以验证。

  再通过对ΔABC的垂心H及内心N的轨迹探究过程,学生思维的批判性、严谨性和深刻性会得到很大的提高。(如图10,11所示)

    
                             
       图10           图11

  三、 边想边做求深入
  对于一些探究性的问题,不仅要动脑,也要动手。“边想边做”,使学生对问题进行深入的探究,在这一过程中,在教师的引导下,鼓励学生进行多角度多方位的思考,学会从技术的使用中发现问题、提出问题,学会用技术去解决问题、检验结果,学会根据问题的发展不断地调整和延伸,从而提出新问题,发展学生的实践能力和创新精神。

  案例3  比较的大小。并由此出发提出新的问题进行探究。
  做1:这是两个确定的幂值,尝试用计算器计算解决。(如图12)

  想1:遇到困难(数值过大)变一变(使相比较的两个数值减小),原问题可以转化为:
  (1) 比较2003与的大小;
  (2) 比较的大小;
  (3) 比较的大小。
  做2:检验操作可行(如图13)

  想2:将问题一般化,从而提出新的问题:
  若,试比较的大小。
  做3:分别取等值,借助计算器发现:
  当时,有>(如图14)

  想3:特殊不能代替一般,如何证明该结论呢?直接用数学归纳法自然不失为一种方法,但有一定的难度,类比〈想1〉中对问题的变换思路,可以作如下思考,将原问题转化为求证:
  (1)当时,有
  (2)当时,有
  (3)当时,有
  对于(1)可借助技术探究随n的增大其值的变化情况,
  对于(2)(3)问题可转而研究函数的单调性。
  做3:通过技术可以求出这两个函数的导函数,分析其在[3,+∞]上值的正负情况。
  不难发现上述两个导函数在(e,+∞)上都为负值,帮其原函数在相应的区间上都是减函数,故结论(2)(3)得证。         

    

  观察图16发现:n增大,值也随之增大,但恒有<3,进一步猜想=e
  证明略。
  这种技术的使用需要学生有较强的提出问题的能力,因此在起始阶段需要教师进行适当的引导,在此过程中注重学生对实验过程的设计和调整,对实验结果的观察、分析、反思,使技术真正成为学生的认知工具。

  参考文献
  1. 人教社中学数学室编著 普通高级中学实验教科书(信息技术整合本)
  2. 章建跃等.高中数学课程教材与信息技术整合研究与实践.数学教育改革与研究.新蕾出版社2004,3


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