在建构主义概念教学中"学数学、做数学、用数学"

关键词：概念教学；学数学；做数学；用数学

目前，在日常的数学教学活动中，"一个定义，3项注意"式的概念教学方式依然比较普遍。在教学中，我们往往侧重于语义分析、语义理解、语义记忆和例子辨析，反复指正定义，轻视概念形成与建立的过程，这样的结果常常导致课堂教学气氛沉闷，学生学习数学概念觉得枯燥乏味，学生的思维受到扼制，学习数学的兴趣、热性大大降低。

数学概念生来就那么枯燥吗？数学发展史告诉我们，每一个数学概念的形成和发展，其中都有丰富的经历。如集合概念的建立，无理数的发现，函数概念的逐步完善，拓扑学的生成等，充满着人类探索的艰辛，其中既需要人们依赖已有的知识经验进行观察、实践、归纳、抽象、概括等人类的理性思考活动，也需要人们对真理不懈追求的勇气，而外部环境则为此提供了重要的动力。也就是说，在形式化的数学概念这一"冰冷的美丽"里面，蕴含着人类探索的"火热的思考"在它的形成过程中蕴涵着丰富的生活意义。

心理的研究表明，学生数学概念的获得往往是一个概念的心理表征的构建过程。同时，认知心理学家认为，概念的心理表征并非是一张"心理照片"，而是主体对独特类型神经活动的体验时产生的一些"可构建性"的神经事件。即，你所意识到的意象是由你的一些"可构建性"的神经事件构建起来的意象，这些"可构建性"的神经事件，依赖于主体对相关事件的体验。"数"来自于"数"，"量"来自于"量"，以及人们头脑中的一些朴素观念有着相对的稳定性（顽固性），这些都说明了主体的丰富体验在把握概念深刻的思想内涵上的意义。因此，在数学概念的教学中，采用建构主义的数学教学观指导数学概念教学，使学生的数学概念学习过程变为"学数学、做数学、用数学"的过程，在"学、做、用"过程中逐步形成相应的观念。在概念教学中，应充分调动学生头脑中相关的知识经验，促使学生主动参于对赏识材料进行细致入微的探究性活动，在探究中丰富由自发概念向科学概念发展过程中的体验，使学生在"学、做、用"过程中。把握概念的本质特征，构建概念的"恰当的"心理表片。使概念教学变为学生"学数学、做数学、用数学"的过程。从而，把学生的思维带回现实中，主动参与对常识材料进行细致入微的探究性活动；把学生带入相关的问题情境中，在问题情境中展开"火热的思考"，探究概念的本质特征；让学生通过观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等思维活动，在探究中学习数学化，通过概念的实例，体会数学的现实意义。

1、将学生带回现实中

数学概念作为具有概括性、抽象性、精确性等性征的科学概念，在学习中，无论是概念形成的方式，还是概念同化的方式，都需要以学生头脑中已有的某些自发性概念的具体性、特殊性成分作为依托，从中分化出它的理论侧面，使之能借助经验事实，变得容易理解，中学数学中的语言概念特别是一些基本概念，正是由于它们的基础性，才与现实生活有着紧密的联系。因此，在教学中应通过创设情境？唤起学生的兴趣，使他们身处现实问题情境中，通过亲身体验，在感性认识基础上，借助分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识性材料进行精微化，使自发性概念逐步摆脱无意识、粗糙、肤浅的劣势，向科学概念发展，达到理性认识的飞跃，从中体验数学是从人类的社会实践中总结、创造出来的关于客观世界的数量关系与空间形式的科学。

例如，向量是一个融大小和方向于一体的量，它不同于数量，但分数量有许多联系，仔细分析学生熟悉的实数，它也有方向，但有正负两个方向；它有绝对值，表示这个实数在数轴上对应的点到原点的距离；它有唯一一个既非正数，又非负数的数：0；它有单位1等等。数学中应使学生充分利用脑中已有的知识与相关的体验以及物理学中的力的合成的实验来建构向量的有关概念。

2、将学生带入问题中

问题是数学的心脏，丰富学生在概念学习过程中的体验，将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的材料转化为富有生活意义的问题，形成问题情境，从而把学生带入问题中，在问题的探究中"学数学、做数学、用数学"，构建概念的心理表征。

首先，把概念的生成过程问题化，一个概念是如何引进的，必要性和重要性何在，一个概念的生成过程中的诸问题，往往也是区分概念的本质特征与非本质特征的关键所在。因此教学中应尽可能把知识的发生过程转化为一系列带有探究性的问题，真正使有关材料成为学生的思考对象，使概念学习变为学生的内在需求。例如，在学习"圆"的概念中，我曾经问过学生："生活中的哪些东西是圆的？"有的同学回答："车轮。""那么，为什么车轮都做成圆形的呢？能不能做成方形或三角形之类的，要是把车轮做成椭圆形，车子开起来会怎样呢？为什么椭圆形轮子的车开起来会一高一低，而圆形车轮的车子开起来就不会一高一低呢？如果做一个最简单的车轮，要注意哪些问题？把圆概念的生成过程问题化，通过对这些问题探讨，达到对圆的本质属性的理解。还有的解为x＝±1，的解呢？由此引入复数的概念。"

其次，把形式化的材料转化为蕴藏概念本质特征，贴近学生生活，适合学生探究的问题。例如，在一堂一元二次方程概念教学课上，教师可提出以下3个问题：

问题1──剪一块面积为9cm²的正方形纸片，应该怎样剪？

问题2──剪一块面积是150cm²的长方形纸片，使它的长比宽多5cm，应该怎样剪

问题3──用一块正方形纸片，在4个角上截去4个相同的边长为2cm的小正方形，然后把4边折起来，做成一个没有盖的长方形盒子，若盒子溶积为32cm²，则正方形纸板的边长应是多少？

通过学生动手操作，把学生引向探求方程的本质──求解。通过动手与动脑相结合，把数学拉到学生身边，使学生变得亲切，激起学生探求的欲望。

问题1即：已知方程x²＝9，求x，

问题2：已知方程x（x＋2）＝150，求x；

问题3：已知方程，求x，如何求呢？即，如何求解一个新的一元二次方程。然后，教师引导学生分析这个新方程的特征，在探求中认识一元二次方程概念的各种特征，把形式与本质有机地结合起来。

3、引导学生学习数学化

数学概念的形成过程是一个数学化的过程。即，通过对常识材料进行细致的观察、思考，借助于分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常材料进行去粗取精、去伪存真的精加工，从中舍弃材料的现实意义，仅保留其数量上或空间上的形式结构方面的信息，由"素朴的直观"构建"精致的直观"。概念是学生学习数学化的很好素材，通过体验概念的数学化过程，能更好地把握概念的本质和非本质特征，建构良好的知识结构。如普通常识中的"极限"往往包含有"无限趋近"的涵义，那么，何谓"无限趋近"呢！我们可以引用古书中"一迟之捶，日取其丰，万世不竭"的例子，引出无穷数例：…，，…，以"愈来愈近"得出数列的变化趋势，再把数列的特征在数轴上表示出来。直观上，随着n的无限增大，表示数列项的对应点将和表示数O的点无限接近（距离趋向于0），再从量化的角度来认识"无限趋近"，为后面的""极限定义打好基础。

还有在高一的"映射"概念教学中，我们可以给学生指出：一个萝卜一个坑，一把钥匙一把锁的至活事实让学生理解2个集合之间多对一，一对一的对应关系，加深学生生活中的实际问题，在交互活动中炼出概念的本质属性，重在数学化过程。

4、在概念的实例中体会数学

概念通常包括4个方面：概念的名称、定义、例子和属性。概念的典型性范例在学习概念的形式、理解和记忆中起着极为重要的作用。认知心理学家罗斯基至认为，记忆中的种种概念，是以这些概念的具体例子来表示的，而不是以某些抽象的规则或相关特点来表示的。数学概念的概括性、抽象性需要概念的典型性范例做支撑，才易被学生理解。而生活化的概念例子包含着更多的信息。回到现实生活中寻找具体例子，比举出一般的形式化例子可能要复杂一些，它需要我们用数学的方法去分析、研究现实生活中的具体现象和事实，并对它们进行组织整理，并需要反复体味概念的本质属性，把握对象的本质特征，因此，更有利于学生深化对概念的理解，形成用数学的意识。在概念的教学中，可以根据情况，引导学生在初步理解概念的基础上，按照科学概念的意义从不同侧面举出实际生活中的概念例子，从中体会数学的意义，深化对概念本质属性的理解，增强问题意识、在潜移默化中形成用数学的眼光去看待事物的习惯，真正把握概念的本质属性，在问题解决中运用概念。

5、反思

（1）把概念学习作为"学数学、做数学、用数学"的过程，应充分调动学生的知、情、意、行等诸方面的积极性，引导学生独立自主地开展思维活动，融会贯通地掌握知识、发展能力，逐步形成用数学的意识。