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例谈课本例题模型的开发与应用


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新课程倡导民主、开放、科学的课程观念,这就要求课程必须与教学相互整合,教师不能只成为课程实施中的执行者,教师更应成为课程的建设者和开发者。因此,如何利用好教材,充分发挥教材的功能成为摆在广大教育工作者面前的一个重要课题。

在《义务教育课程标准实验教科书·八上》第81页有这样一道例题:

如图,一架长为10米的梯子AB斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑1米,那么它的底端也将滑动1米吗?

    这道例题编者目的是谈勾股定理的应用,但它为我们提供了一个非常好的运动变化问题的模型:一条定线段AB沿一直角∠ACB的两边滑动,对此加以探究、利用,可编拟出不少新题、好题。

探究一、将定线段AB置于△ABC中,当线段AB滑动时探究顶点C的变化情况。

例1.如图1-1,在平面直角坐标系中,已知在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,刚开始的时候,Rt△ABC的斜边AB在y轴的正半轴上,一直角边AC在射线OP上,且顶点A与原点重合,随着顶点A由O点出发沿OX滑动(点A始终在X轴上),顶点B也沿着y轴向点O滑动;这样,顶点C的位置也相应改变;如图所示,得到Rt△A′B′C′。

(1)           当顶点A的滑动距离OA=3时,顶点B下滑的距离是多少?

(2)           设点C的横坐标为m,问在滑动过程中,顶点C是否总在射线OP上?若在,请

  加以证明,并求出m的取值范围;若不在,请说明理由。

  (3)在(2)的情况下,当顶点B下滑到点O处(即B、O两点重合)时,顶点C在从滑动开始到结束的整个过程中移动的路程是多少?

分析:

在原图中,很难看出点C的位置的改变有什么规律,我们不妨做一张△ABC纸片,然后将纸片按照要求移动,在运动中观察、比较、分析,我们可以很容易的发现在运动中哪些量在改变,哪些量是不变的;也可以寻找到顶点C的运动轨迹应是一条线段,且点C移动到图1-2中C1位置最远,然后又慢慢移动到C2结束,点C经过的路程应是线段CC1+C1C2,因为有了具体的纸片的移动,所以我们对问题的解决有了更加清晰和具体的认识。

略解:

(1)OB=,点B下滑的距离是

(2)顶点C在滑动过程中的运动轨迹是线段CC1,利用相似形的有关知识,可以求得点C的纵坐标是

(3)点C移动的路程是CC1+C1C2=(5-3)+(5-4)=3

探究二、将△ABC置于圆中,当定线段AB滑动时探究顶点C的变化情况。

例2.(扬州市2006年初中毕业、升学统一考试数学试题)

图2-1是用钢丝制作的一个几何探究工具,其中△ABC内接于⊙G,AB是⊙G的直径,AB=6,AC=3.现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中(如图2-2),然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动,点B在射线OY上也随之向点O滑动(如图2-3),当点B滑动至与点O重合时运动结束.

  ⑴ 试说明在运动过程中,原点O始终在⊙G上;

  ⑵ 设点C的坐标为(),试探求之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;

  ⑶ 在整个运动过程中,点C运动的路程是多少?

分析与略解:

本题圆的运动与上题△ABC的运动有着异曲同工之妙,其思路也类似。

(1)       如图2-3,由于AB为圆G的直径,∠AOB=90°,故原点O始终在⊙G上。

(2)          过点C作CD⊥x轴于点D,作CE⊥y轴于点E,则易得△CAD∽△CBE,所以,可得y=

(3)          点C运动的路程为

探究三、将线段AB一端A固定,当另一端点B在x轴上滑动时探究顶点C的变化情况。

例3.(盐城市二○○六年高中阶段教育招生统一考试数学试卷)

已知:如图3-1,A(0,1)是y轴上一定点,B是x轴上一动点,以AB为边,在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB ,过B作BC⊥AB,交AE于点C.

(1)当B点的横坐标为时,求线段AC的长;

(2)当点B在x轴上运动时,设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时,点C也与O点重合);

    (3)设过点P(0,-1)的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1,y1)、M2(x2,y2),且x12+x22-6(x1+x2)=8,求直线l的解析式.

解:(1)方法一:在Rt△AOB中,可求得AB=,由△ABO∽△ABC得,由此可求得:AC=

   方法二:由题意知:tan∠OAB=

      由勾股定理可求得

   (2)方法一:当B不与O重合时,延长CB交y轴于点D,过C作CH⊥x轴,交x轴于点H,则可证得AC=AD,BD=BC;由△ABO∽△BDO,则OB2=AO×OD,即

化简得:y=,当O、B、C三点重合时,y=x=0,∴y与x的函数关系式为:y=

  方法二:过点C作CG⊥x轴,交AB的延长线于点H,则AC2=(1-y)2+x2=(1+y)2,化简即可得。

  (3)设直线的解析式为y=kx+b,则由题意可得:,消去y得:x2-4kx-4b=0,则有,由题设知:x12+x22-6(x1+x2)=8,代入解得:k1=2,k2=,经检验,k1=2、b=-1时,△>0,符合题意;∴所求的直线l的解析式为:y=2x-1

新课程给教师提供了一个广阔的施展才华的舞台,作为教师,要有强烈的课程意识和参与意识,改变以往学科本位观念和消极被动执行的做法,认真钻研教材,充分挖掘教材内涵,创造性地使用好教材,这样才能使新课程改革顺利推进。


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