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新课程理念下数学探究性学习的教学设计


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《数学课程标准》指出:“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”强调学生的创新意识是在主动探索知识的过程中得到培养的,学生的实践能力是在运用知识解决问题的实践活动中得到发展的,课堂教学应该是培养学生创新意识和实践能力的主阵地。因此,进行初中数学探究性学习的课堂教学实践,寻找与时代发展相适应的教与学的方式势在必行。

所谓数学探究性学习,是指“学生在数学领域或现实生活的情境中,通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动,获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。”如何在初中数学教学中引导学生进行探究性学习?本文试图通过例子,展示探究性学习的课堂教学设计,就教于方家。

例题:已知中,AB=AC,D为BC边所在直线上任一点,于E,于F。试求DE与DF满足的关系。

本题没有提供图形,而且DE与DF满足怎样的关系不清楚,学生感到难以人手。如何激发学生的探究欲望,让他们自己来参与数学发现呢?为此,进行以下的教学设计:

一、创设情境,明确探究目标

在《几何画板》中用鼠标拖动相关关键点结合“计算工具" 演示:等腰三角形中,DE与DF的和始终是一个固定的值。激起学生疑问:点D、E、F的位置在不断变化,为什么它们的和却始终不变呢?这个固定的值是多少呢?与什么有关呢?如何来证明呢?

二、动手操作,深入探究

1、引导学生正确分类。

(1)你认为点D的位置可能有几种情况?(三种:点D在B、C之间或与B、C之一重合或在BC的延长线上)

(2)等腰三角形有几种类型?(锐角、直角、钝角等腰三角形)你认为哪一种情形最特殊?(等腰直角三角形)

2、从特例人手,逐类考查。

在等腰直角三角形中(图1):

(1)当点D与B、C之一重合时,DE与DF应满足什么关系?请进行合理猜想。(等于腰长,很容易验证。)

(2)当D在B、C之间时,上述猜想还成立吗?你能就此种情形验证你的猜想吗?

3、从特殊向一般转化,探究普遍规律。

(1)从特殊到一般地推广,若将等腰直角三角形改为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形,上述猜想是否仍旧成立?若不成立,是否有类似的结论?请作出合理猜想。(DE与DF之和等于腰上的高线长)。(图2、图3)

(2)如何验证(1)中的猜想?(用截短法、加长法或面积法)

(3)当点D在BC的延长线上时,DE与DF又将满足什么样的关系?如何证明?(图4)

三、群体参与、合作交流

1、以四人为小组,进行组内合作,充分发表己见,形成小组集体意见。

2、进行组际交流,交流猜想结论、交流验证方法等。

3、学生概括题中DE与DF在不同情况下满足的不同关系。

说明:这里,教师设计了一个容易激疑的问题情境,给学生思维以方向和动力;五个由浅人深的问题引起学生深人的思考,并且能促使学生“发现问题,作出思考,提出猜想,进行验证”等探究性的学习活动,并教给学生探究性学习的方法。这样设计探究学习活动,是为了更有利于学生主体性的发挥。在探究活动中强调合作,促进了学生在思维品质、人格特征以及解题方法等方面的优势互补,使学生兴趣盎然地投人探究新知的学习活动。

四、反思小结、提炼数学思想

1、在问题的解决过程中,我们是怎样人手的?为什么要这样分类?(根据点D在等腰三角形底边上的位置和三角形的形状分类;在无图形的几何问题中往往需分情形分类讨论)

2、在证明过程中我们主要运用了哪两种方法?哪一种方法更加优越?(面积法较简捷)

3、本题可以概括出怎样的一般性的结论?(等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和(之差)等于腰上的高线长)

4、在解题过程中运用了哪些数学思想方法?(整体思想、分类讨论的思想、从特殊到一般的思想等。)

五、类比迁移、引申拓广

应用本题的解题方法和结论,尝试解决下列问题:

问题l:如图5,在矩形ABCD中,AC、BD交于O,P为AD上任一点,于点E,于点F。

1、若AB=3,BC=4。求PE十PF的值。

2、若AB=a,BC=b。求PE+PF的值。

3、若AB+BC=8,求PE+PF的最大值。

反思:本题和上述例题有何联系吗?(题中包含例题中的基本图形,如图6)

问题2:如图7,正 的边长为2,AD是BC边上的高线,点P为AD上任意一点,求PD+PE+PF的值。

本题作为一种特殊情形,很容易求出PD十PE+PF的值就是高线AD的长。

以此题为背景,引导学生猜想并验证下列结论:

1、当点P为正 内任意一点时,求PD十PE十PF的值。(如图8)

2、当点P为正△ABC外任意一点时,求PD、PE、PF三者满足的关系。(如图9)

分析:

1、如图8,连结AP、BP、CP,则

所以PD十PE+PF=h(这里h是正三角形的高线长,下同)

2、应分成以下三种情况进行讨论。

(1)当点P在一边和另两边的反向延长线所围成的区域内时,如图9,连结AP、BP、CP,则

(2)当点P在一边的延长线上时,如图10,同法可推出PD+PE一PF=h(此时PD=0).

(3)当点P在某两边延长线所夹角的内部时,如图11,同法可得PE一PD一PF=h

说明:学生经过自己的主动探索、实验,发现了重要的结论,这是对学生主动参与精神的激励,能使学生体验到主动探究成功后的喜悦,增强学生学习的动力和信心。经过组内和组际的交流,能使学生各自得到不同的收获,同时能使学生感悟到“面对新问题,联想旧知识,寻找新旧知识之间的关系,揭示知识规律,获取新知”的探究方法和策略,使他们更自觉更主动地投入到探究性学习活动中去。

实施数学探究性学习,是数学教学和学习方式改革的必由之路。学生探究性学习活动能否顺利实施,关键在于教师能否创造适宜的教学情境和进行合理的引导。在新课程实施过程中,教师要运用一切可能的手段,不断优化教学设计,激发学生的学习兴趣,创设有效的探究时间和空间,形成良好的探究风气,让每个学生都有主动探究的机会和欲望,从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。


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