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巴比仑人的记数法


  巴比仑人用两种进位法:一种是十进制,另外一种是六十
进位。

  十进制是我们现在普通日常生活中所用的方法,打算盘的
「逢十进一」就是基于这种原理。

  巴比仑人没有算盘,但他们发明了这样的「计算工具」协
助计算(图一)。在地上挖三个长条小槽,或者特制有三个小
糟的泥块,用一些金属小球代表数字。

      

  比方说:巴比仑城南的农民交来了 429 袋的麦作为国王的
税金,而城东的农民交来了 253 袋的麦。因此国王的仓库增加
429 + 253 = 682 袋粮食。我们用笔算一下子就得到答案,可
是巴比仑人却是先在泥板上的小槽上分别放上:4 个, 2 个,
9
个的金属球,这代表了 429。然后在置放 4 个金属球的小槽
上添加 2 个小球,中间槽上添加 5 个小球,最后的小槽上添加
3
个小球。

  现在最后一列的小槽上有 12 个小球,巴比仑人就取掉十
个,在中间那个槽里添上 1 个小球-这也就是「逢十进一」。

  最后泥板上的数字 682 就是加的结果。这不是很好玩吗?
(图二)我们可以利用这方法以实物教儿童认识一些大数的加
法。

 

 

  六十进制制目前是较少用到,除了在时间上我们说:一小
= 60 分,1 = 60 秒外,在其它场合我们都是用十进制制。

  可是你知道吗?就是古代的巴比仑人定下一年有三百六十
五天, 十二个月,一个月有二十九天或三十天,每七天为一个
星期,一个圆有三百六十度,一小时有六十分,一分有六十秒
等等,我们现代还是继续采用。

  考古学家在一块长三又八分之一吋,宽二吋,厚四分之三
吋的泥板书上发现了巴比仑人的记数法。

 

 

  这泥板的中间从上到下有像(图四)的符号:读者可以看
出这是代表:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

 

  这泥板书受到盐和灰尘的侵蚀,但可以看到泥板书的右边
前五行是形如:

 

很明显的这应该代表 10,20,30,40,50

  可是接下来的却是这样的符号:

    
  如果我们前面知道的符号是写成:

    1         1,10         1,20         (缺三个)               2             2,10

  这是什么意思呢?考古学家猜测那几个符号照上面10,20,30,
  40,50的次序应该是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130

  是否那个 1 的符号也可以代表 60 呢?如果是的话那么 1,10
就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那个
将代表 2 × 60 = 120。很明显 2,10是代表 120 + 10 = 130

  这样的猜测是合理的,由于巴比仑人没有符号表示零,而
他们采用的是 60 进位制,因此同样一个符号 可以代表 1 60

  没有零符号在记数上是很容易产生误会,比方说: 可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 1,0,20 = 1 × 60
2 + 0 × 60 + 20 = 3620

  到了两千年前巴比仑人才采用 表示零。

  因此像 代表 2,3,0,41 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

  从此巴比仑人小于 60 的数字的记数可以看出他们懂得「位值原理」

 

巴比仑人怎样进行除法运算?

  从一些泥板书里可以看出底下的对应。

2

30

16

3,45

45

1 ,20

3

20

18

3,20

48

1 ,15

4

15

20

3

50

1 ,12

5

12

24

2,30

54

1 , 6 ,40

6

10

25

2,24

 

 

8

7,30

27

2,13,20

 

 

9

6,40

30

2

 

 

10

6

32

1,52,30

 

 

12

5

36

1,40

 

 

15

4

40

1,30

 

 

  如果你在现在的伊拉克的土地上发掘这样的泥板书,你能了解这是什么
意思吗?四十多年前考古学家发现这事实上就是巴比仑人的「倒数表」。我
现在把以上的表改写:

       

  你可以看出这就是把整数 n 的倒数1/n用六十进的分数来表示。比方说 27
对应 2,13,20意思就是:

        

  你会注意到以上的表缺少了:7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等,
这是什么原因呢?

  原来是这样:巴比仑人只列下以六十进制制的分数表示式是有限长的那些整
数,而这些整数只能是 2
a3b5c(这里a,b,c是大于或等于零的整数)的样子。

  对于 7 来说,它的倒数如果是以六十进制数表示将得到循环分数,即 8,34,17,
8,34,17,....
直到无穷。对于 11 也是如此,我们得到 5,27,16,21,49 然后重复以上的样
式以至无穷。

  为什么要构造这样的「倒数表」呢?

  我们在小学学计算:先学加,然后学减。先学乘,然后学除。如果现在要算
a ÷ b
,我们可以把这问题转化成为 a × ( ),这样只要知道 b 的倒数,我们就「化除为乘」,计算有时是会快捷一些。

  古代的巴比仑人也懂得这个道理,因此在实际生活上,如在灌溉、计算工资
、利息、税项、天文等问题上遇到除的问题,就尽可能将它转变为乘的问题来解
决,这时候「倒数表」就很有用了。


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