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数学实验


研究性学习,作为培养学生创新精神和实践能力的一种重要途径和载体,无疑是当今数学教育改革中的热点和亮点,它是指在教学过程中以问题为载体,创设一种类似科学研究的情境和途径,让学生通过自己收集、分析和处理信息来实际感受和体验知识的生产过程,进而了解社会、学会学习、培养分析问题、解决问题的能力和创造能力。

无疑研究性学习与已有的数学教学相比,是要改变学生的学习方式,强调一种主动探究式的学习。在我国,1997年以后各大学纷纷开设“数学建模”和“数学实验”课程,作为实践创新教育的新举措。其中的“数学实验”是指以计算机数学软件的应用为平台,模拟实验环境,结合数学模型进行教学的新型授课方式。山于它提倡通过让学生自主地在计算机卜“做数学”,来探索数学现象,发现数学规律,理解数学概念,提炼数学思想,解决实际问题,囚而正成为研究性学习的一种重要的实践方式而山大学逐渐向中学拓展 。下面笔者结合自己辅导学生参加上海市中学生数学知识应用竟赛的教学实践,来淡谈中学里如何更好地开展数学实验。

1 数学实验一般是以问题(或专题、课题)为载体来实施的

目前,在上海市各中学,研究性学习活动正蓬勃开展,各校都指导学生自主选择课题进行研究性学习。为配合上海市中学生数学知识应用竞赛的开展,我校近年来十分重视运用计算机来解决实际问题,学生通过使用"Mathematica", " Matlab"等数学软件或自编软件,解决了自己课题中的一个个问题,如我校获上海市中学生数学知识应用竞赛论文一等奖及全国青少年科学论坛一等奖的课题《关于水泥28天抗压强度值的测试》,其中涉及到比较用三个不同曲线来拟合预测某批水泥在使用28天后的抗压强度值的优劣,由于数据众多,计算繁复,两位同学是通过自编软件,由计算机实验来完成的。又譬如我校获上海市中学生数学知识应用竞赛二等奖的论文《21点中的风险决策》,其中需要预测庄家的点数,如果用排列组合的方法计算很复杂,考虑到庄家抽取的每张牌是按照一定的概率分配的,所以这名同学就借助于有关数学软件由计算机对庄家首张牌的不同情况,分别模拟发牌过程,为与实际情况相吻合,模拟次数多达一千万次来得到有关结果。

当然,为了增强学生运用数学实验解决实际问题的能力,我们在辅导时,也可给出一些小的课题让学生在计算机上独立实验,如“用蛛网图观察不动点的迭代”,用线性规划解决的“啤酒配方问题”等,通过这些数学实验的实际操作,学生可逐步掌握数学实验的方法。由于我们是以问题(或专题、课题)为载体来开展数学实验的,从而提高了学生做数学实验的兴趣,克服了为了数学实验而实验的问题,体现了研究性学习的特点。

2 数学实验应呈开放学习的态势

由于数学实验是以问题(或专题、课题)为载体来实施的,而要研究的问题多来自学生生活着的现实世界,学生根据自己的兴趣、爱好、特长会选择不同的问题进行研究,因此所遇到的数学实验会呈现出各种不同的类型。如有的学生课题中需解决大量的数值计算问题,则这类学生应借助于以数值计算见长的数学软件Matlab , Xamth,Gauss等进行计算机实验操作,另一些学生的课题可能会遇到数学分析型的问题,则这些学生可借助于数学软件“Maple”,"Mathematica”这类以符号计算见长的软件来进行计算机实验。在辅导学生时,教师不应限制学生只使用某一种软件,而应尊重学生的兴趣和需要,让学生自主选择。

数学实验的开放性还体现在对待同一问题,而采用不同的实验方法上。如上海市2001年中学生数学知识应用竞赛数学建模夏令营试题:“生产设备的优化使用:某厂有100套相同规格的生产设备,可用于生产两种不同的产品。如果生产A产品,则每套设备全年可生产1.4万台,可获利润(折算到年末,下同)(万元),其中为A产品全年总产量(单位:万台),而经一年生产以后设备的折损率为;如果生产B产品,则每套设备全年可生产1.5万台,可获利润(万元),其中为B产品全年的总产量(单位:万台),经一年生产以后设备的折损率为。出于安全方面的考虑,厂里规定,当一套设备到年终时的生产能力时,设备将被强制更新,贷款利率以r=6.4%计。

(l)该厂最快几年需更新设备,最迟几年需更新设备?

(2)给出后一年设备总的生产效率与前一年生产计划的关系。

(3)给出设备使用期内产生总效益的表达式。

(4)确定更新周期及生产计划,使总效益最大。

(5)对不同的及K,你的方法是否具有普遍性?

在解决这一问题时,其中的(4)、(5)小题各参赛队根据自己对问题的理解和自己的特长,采用了不同的计算机实验方法。如有的考虑到第一年开始总机器数为100台,而后几年的机器总数可以根据前一年的生产A的表达式算出,如果将每年生产后实际台数进行四舍五人运算,那么所有情况必然是有限种。所以采用利用计算机枚举出所有情况,然后比较,得出最大效益,利用TurboPascal 7.0自编程序进行实验;还有的队直接考虑用动态规划算法,自己编写程序大大提高了计算机的解题速度;另有一些队直接采用软件Matlab进行实验,也可在计算机上较快地解决问题。各参赛队解决问题的实验方法,呈现了相当的开放性。有些队同时设计了几种不同的方法,并指出了各种方法的优劣,体现了中学生所具有的极大创新思维的潜力。这种情况由于和长期以考试为中心而使学生易形成一种思维定势“所有问题都有答案且只有一个标准答案。”不同,学生没有了思想上的束缚,完全可以在他的研究实验领域内自由地驰骋,充分发挥他的想像力。这种开放的、自由地进行数学实验操作,正是学生灵感火花、创新精 神产生的前提条件。

3 数学实验应当更能体现学生的“做”数学

“多做数学习题是学好数学的有效途径”这是部分数学老师指导学生更好应试的“经验之谈”,多少有点应试教育的味道。而数学实验中的“做”,则主要是要求学生多动手、多上机,在老师 指导下探索建立模型解决问题的方法,在失败和成功中获得真知。数学中的很多问题和概念是可以由“做”数学实验来帮助加深理解的。

如上海市2001年高考数学试题第22题,其中涉及到函数的迭代和不动点的概念,试题推出后,后几届的高中生在解此题时,仍然感到困难,对已公布的标准答案也不能很好地理解。为了帮助学生更好地理解迭代和不动点的概念,我们可以指导学生做如下的数学实验。

问题:用求不动点的方法求方程的根。这里方程为,对这一方程,构造如下三个函数:,容易验证于是求根转化为求不动点问题,试利用Matlab软件,在计算机环境下,取初始值,用迭代法观察它们的收敛性和收敛快慢。

学生通过观察、操作,会发现在三个函数的迭代蛛网图上,迭代发散到负无穷,而均收敛到不动点,但收敛的速度有快、慢之分。

教师可进一步要求学生观察图形,研究收敛速度不同的原因。会发现函数越平坦,迭代越快,这个结论是否正确,教师可让学生结合自己在选修课上学习的微积分知识,来理解教师给出的如下定理:设内连续,且,若存在L<1,使,则有唯一解

(1)对于,迭代序列收敛于不动点

(2)

这个定理说明了收敛条件和收敛速度,我们可以让学生再构造一些函数(陡峭的或平坦的)来观察定理的结论,进一步加深理解。学生通过做这个实验,对迭代、不动点及以上提及的高考试题解法会有更深的理解。

要保证学生“做”的好,还应注意以下几点。

(1).结合数学知识应用竞赛的辅导使学生掌握数值计算、优化方法、数理统计三部分中最基本的、适合于中学生的原理和算法。

(2).注意指导学生在众多的数学软件中,根据 实验内容,选择一个合适的数学软件平台。

(3).从事数学实验应处理好与数学建模的关系。两者的目的是一致的,都着重培养学生“用数学”的能力,但数学建模重在实际问题的建模及模型结果的解释和应用上. 而数学实验则重在介绍若干数学方法(数值计算、优化、统计)与相应软件的结合,完成模型的求解。因此,数学实验则更多地强调学生要有足够的时间自己动手在计算机上"做”,通过“做”,在数学知识、建模能力和软件实现的结合上下功夫。

4 开展数学实验应当重视结果,但更应注重数学实验的过程和学生在实验过程中的感受和体验

现代科学与技术的发展,已使数学实验在科研中的地位越来越重要。有识之士指出:“今天,在技术科学中最有用的数学研究领域是数值分析和数学建模”。“一切科学与工程技术人员的教育必须包括越来越多的数学和计算科学的内容。数学建模和相伴的计算正成为工程设计过程中的关键工具。科学家正日益依赖于计算方法以及在解释结果的精度和可靠性方面有充分的经验。”随着计算机技术的发展,今天的核弹爆炸试验都可以用数学实验的方法由计算机去模拟。在中学里就让学生接触到数学实验,让他们通过自己选取课题,收集信息和数据,建立数学模型,通过数学实验解决问题,发现规律。真正地感受一下科学研究的全过程,对他们今后的发展将产生巨大影响。

学生通过特定的数学实验,可以直观地了解非常抽象的数学内容,了解它的应用背景,化枯燥为有趣,这个过程会增加学习数学的兴趣;在实验的过程中也会遇到挫折和失败,这会使学生体会到研究的艰辛;让他们以小组合作方式来做实验,可以培养他们的团队合作精神和人际交往能力;在数学实验中,学生会充分结合自己已有的知识,计算机的、数学的和人文科学的来解决正在研究的问题,知识在他们眼里不再是相互孤立的,而是相互间密不可分的关系。让学生通过数学实验获得上述感受和体验,正是开展数学实验的主要目的。

参考文献

1 任博生.《走进自主研究天地》.(理科分册)上海:上海远东出版社,2002.113,244

2 编写组.《中学应用数学竞赛题萃》.上海:华东师范大学出版社.2001 .261

3 周晓阳.《数学实验与Matlab》 .武汉:华中科技大学出版社.2002 .l 


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