在数学教育中渗透辩证思维思想

【关键词】辩证思维 运动 常量 变量 特殊 一般

当前，中小学正在大力提倡素质教育，教师正在注重和加强教育科研，以科研带教育，以科研促教学，彼此形成一种相互依托，相互促进的良好循环机制，才能保证教学改革沿着素质教育的方向前进，下面就从函数概念教学中辩证思维谈一点体会。

函数概念是中等数学中一个重要概念，也是变量数学的基础概念之一。在进行这一概念教学时，通常对其三要素进行阐述，这对理解函数概念，起了很好作用。但教材中函数的辩证思维内容涉及很少，因此教学时，执教者无从阐述和发挥，以致教学大纲中，培养学生辩证唯物主义观点的目的往往不能落实。笔者认为，在教学函数概念时，应当把辩证唯物主义的基本观点有机地渗透在有关内容中，适当加以讲解。这对培养学生辩证思维能力有很好的作用，也为今后进一步学习变量数学打下基础。下面谈谈我的体会和认识，以求共同探讨。

一、认清运动变化与间断、僵化的辩证关系

在中等数学中，函数概念是用“某个范围内，x的每一个确定的值，另一个变量y有唯一确定的值与之对应”来定义的。这个定义能否刻划两个变量间相互联系、相互制约的运动变化关系呢？剖析一下定义就可以知道了。首先规定了自变量变化范围，并约定它要取“每一个确定的值。”这一描述把自变量取值的确定性任意性与完备性体现出来了。所谓确定性，是指变量取值的方法为“一个确定的值，”即取值是逐个进行的，且一次仅取一个，所谓任意性与完备性是指自变量要取“每”一个值。“每”有任取和取尽的意义，就是说自变量取值的过程是即可取这一个又可取另一个，直至取尽每一个。由此可知自变量的运动变化 在一连串取值的变化中得以充分的体现。由于对应法则的作用，函数的运动变化则是随自变量的变化而变化，这是显而易见的。

需要探索的是：自变量取值的确定性、任意性与完备性是通过怎样的手段来实现的呢？函数定义本身没有回答这一问题，这正是辩证思维在函数概念中的运用。

伟大导师列宁在《黑格尔“哲学史讲演录”》一书摘要中指出：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那未我们就不能想象，表达，测量、描述运动”。列宁的论述，为研究变量的运动变化提出了辩证思维方法：变量无论取何种运动变化的形态，都须施以人为的间断、割碎、僵化的手段，然后才能想象、表达、测量、描述。自变量取值的确定性就是人为的间断、割碎、僵化的实施下得以实现的。但是，研究变量的目的是描述、测量其运动变化，人为的间断、割碎、僵化只是一时之需，还必须使变量从间断割碎、僵化的状态下“苏醒”过来。这就必须创造一定的条件，只有在一定条件下对立物双方才能转化。取值的任意性和完备性就是为苏醒提供了转化条件，这就使得人为地僵化转化为运动变化了。

上述的辩证思维，其实质是进行了两次转化。第一次是用人为的手段，使运动过程暂时处于停滞状态，以便测量、描述，第二次是在提供一的条件后使停滞状态，再次向运动转化。这两次转化，不是简单的重复，而是使人们对变量的认识起了一个质的飞跃。在函数作图中，取值、描点的过程就是进行第一次转化，用光滑曲线将分散的点连接起来，就是进行第二次转化。经过这两次转化函数图象便一目了然了。

二、理解常量与变量的辩证关系

初学函数时，学生由于长期在常量范围内计算、思维，因此逐步养成思维上定势，以为变量一直是变，常量永远是“常”，对变量有时“受制”，常量有时“不常”，往往理解不深，不明白研究变量必须通过研究其常量方能实现的道理。这是由于学生不能运用辩证唯物主义认识论去看待事物的变化。毛泽东同志在《实践论》中说过：“人的认识是一步一步地由低级向高级发展，即由浅入深，由片面到更多的方面。”研究变量当然不能例外，也必须按照这一规律先从运动变化的某些侧面某些特定状态下进行研究，然后再逐步由浅入深，由表及里，由某此侧面到认识事物运动的全貌。如二次函数，首先研究的是二次函数与X轴相交交点的横坐标问题(就是求解一元二次方程)，进而研究二次函数值大(小)于零的问题，(就是求解一元二次不等式)，它已在求方程二个解的基础上认识深化了一步，开始由几个值向无数个值转化，随着研究的深入，更高级的二次函数概念才出现。由此可知，研究常量往往是研究变量的先导，一系列常量研究的积累，就会由此及彼，由量变引起质变，所以研究变量必须通过研究其常量才能实现。

还应明确的是，不仅变量与变量之间相互依存，就是常量与变量之间也往往是相伴而生、相互依存、相互制约。变量在自己变化中，常要受到某些“限制”，正是由于有了这“限制”才使得函数变化千姿百态，这种“限制”在数量上一般均以常量的形式出现。事实上，指数函数、对数函数的底a的值，就是一种“限制”。α的取值不同，指数、对数函数的变化也随之不同。在实际问题中，也常常遇到这种“限制”。如在一个动点到一个定点，与定直线距离之比是一个定值的问题中，定点、定值等都是“限制”，不同的定值，曲线形状各异。因此要善于抓住变量问题中的“限制”条件，运用这个条件，就会促进问题的解决。就是常量本身，也不是一成不变的，其内部也会有矛盾，一切常量都是相对的。而一种过程转化为它过程的运动变化则是绝对的。

三、从函数关系表达的多样化、特殊化理解特殊与一般的辩证关系

客观事物的运动是千变万化的，反映在数量关系上也必然是形式多样的。但是各种各样的函数关系不能以自己的特殊出现在函数定义中，所以只能以其具有的共性对应关系加以高度概括，用字母f表示自变量与函数之间的对应法则。这就使得f具有一般性、抽象性。然后一般性应寓于特殊性之中，所以每一特殊函数的对应关系既具有f的一般性，又具有其特殊性。理解了这一点，对于f可用公式、列表、图象、语言描述等多样化的表达形式就比较清楚了。函数关系无论用哪一种来表达，都已使f具体化、形象化、特殊化。在实际应用中，只用一种特殊表达形式往往达不到预期的目的。为了更深刻、更形象地认识两个变量间的变化规律，一般采用函数关系表达形式的多样化来研究它的特殊性，通过多样化表达形式的综合应用，来进行相互印证、相互补充，更好地揭示其特殊函数变化的一般规律。如初等函数的研究，都是先给出了函数的解析式，然后列表，进而在直角坐标系内作出相应的图象。这就是运用了公式、列表、图象等多种形式。通过公式、列表、图象的互相印证，补充初等函数变化规律，使鲜明地展现出来，变得容易理解和掌握。

函数关系表达形式的多样化，还有另外一种功效，它可以运用其中一种或几种来探索另外一种或几种表达形式，这说明f表达的多样化之间有着内在的联系。如运用语言描述表达函数关系时，往往透过语言的内涵，去设法建立解析式，图象，掌握了函数曲线时，往往通过直角坐标系中点的研究，来建立曲线的方程等。所以从特殊函数研究中，更能深刻地领会函数中对应关系既是抽象的，又是具体的，其表达形式是多样的，又是相互联系的。善于运用f表达式的多样化，是研究特殊函数的有效方法。

综上所述，函数概念是培养学生辩证思维能力的极好教材，我们应把握教材内含的辩证思维，这对学生的成长和学习变量数学都是有益的。

参考文献：

数学思维与数学方法论，四川教育出版社，郑毓信，肖柏荣，熊萍著

《列宁全集》第38卷，人民出版社