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例析习题课的能力培养


高三教学综合性更强,能力要求更高,要把握好点线体综合复习的每一个环节,引导学生构建起以能力为核心的多面体式知识体系。切不可就是以前所学知识的简单复习与堆砌,特别是基于学生认知能力,同一问题分散于小学、初中、高中分阶段学习的知识,应引导学生站在一个较高的层次进行综合复习。既要注意各数学分支的纵向深入,更应注意它们的横向联系;既要通过一题多解培养能力,更要注意多题一解以减负。题组教学的递进式复习,可以说是高三复习的一个有效途径,既可拯救学生出苦海,又可提高学生的兴趣,使学生对所学知识达到融会贯通的境界。下面来看一类问题的题组教学。

例1:在直线l : x + y-1 = 0 上找一点P ,使P点到A(2,6)、B(5,1)两点距离的和最小。

第一步:通过问题的实际背景导析,激发兴趣,并明确许多问题同属于一个数学模型。

1、 在河边修一抽水机站,供A、B两村庄的用水,机站建在何处费用最少?

2、 在铁路旁修一车站,使火车卸下的货物运到A、B两厂,汽车运费最少?

第二步:引导学生分析求解

1、 如果A、B在l 的异侧,

2、 连接AB与l 的交点即为所求。

3、 如果A、B在l 的同侧,启发学生作B关于l的对称点B’, 连接AB’与l的交点P即为所求。

      

注意:(1)根据“三角形两边之和大于第三边”让学生理解所以然(难点)

   (2)掌握对称点B’的求法,再求AB’的方程及AB’和直线l的交点P。(关键)

第三步:解题后的思考

1、 作A关于l的对称点A’(-5,-1),直线A’B与l的交点也是P,直线A’B和AB’关于l对称。

2、 能否求|PA|+|PB|的最大值呢?|PA|-|PB|的最大值呢?使学生明确A、B在l的同侧,异侧的两种情形的求解。

第四步:小结和拓展

1、|PA||+|PB|的最小值,||PA|-|PB||的最大值,求解的本质都一样。

2、两村庄位于河的两岸,在河上修一桥,使行程最小,启发学生编拟数学题。

例2:设A(-5,-1)、B(5,1),L1:x + y + 1 = 0, L2: x+y-1=0。在L1、L2上分别找点P、Q使PQ⊥L1,且使折线段APQB最短。

第一步:引导学生进行实际分析,探求解题途径。

1、 有部分学生会想当然地连接A、B。你们见过这样的斜桥没有?桥的跨度加长。

(1)增加了建桥的难度。

(2)增加了建桥的费用。

(3)减短了桥的使用寿命。所以PQ⊥L1,|PQ|=。问题即是求|AP|+|BQ|的最小值。

2、 引导学生将点Q、B和直线L整体平移,使L2与L1重合,则B点平移到B’的位置,连AB’交L1的交点即为P点。

第二步:引导学生求解:

作BC⊥L2,在BC上取点B’ ,使|BB’|=|PQ|=。直线BB’的方程为:x –y – 4 = 0 。B’(4,0)。AB’的方程为x – 9y – 4 = 0 。P(-1/2 , -1/2),Q(1/2,1/2)。

第三步:解题后的再思考:

一光线自厚度为mm的玻璃外一点A射向破璃上的B点。(1)求折射光线年在的直线方程。(2)求反射光线所在的直线方程。

例3:光线自A(2,6)点射向直线x+y-1=0后的反射光线经过B(-4,7)。求入射光线和反射光线所在直线方程。

第一步:引导学生分析解题。

1、 A’(-5,-1)。反射光线A’B所在的直线方程为:8x – y + 39 = 0 。入射光线AP所在直线方程为:20x – 21y +164 = 0 。

   P(-38/9, 47/9).

2、 两直线都可以求出对称点A’ 、B’再用两点式求解,也可先求出一条,另一条用求对称曲线的通法求解,借此复习一般曲线的对称曲线的求解。

第二步:启发学生思考新的问题。如果反射光线和某一圆相切呢?

例4:自A(2,6)射出的光线经直线x+y-1=0 反射,反射光线和圆(x+3)2+(y-7)2=4相切。求反射光线所在的直线方程。

第一步:引导学生分析求解。

1、 A’(-5,-1),设反射光线所在直线方程为y+1=k(x+5)。求得 15x – 8y +83=0。

2、 注意启发学生思考寻找斜率不存在的情形。过圆外一点引圆的左线应该有两条,反射光线所在直线还有一条:x=-5。

第二步:启发学生思考问题:

如果光线射向圆上的某一点,求反射光线所在直线方程,又怎样求呢?

例5、光线自A(2,6)点射向园上的P(-1,7)点,求反射光线所在直线方程。

第一步:引导学生分析求解;

1、分析:问题相当于经过园在P(-1,7)点的直线x=-1反射,亦即求直线AP关于园在P点的法线y=7的对称曲线的方程。

2、引导学生求解:直线AP的方程为,关于y=7的对称直线为,即

第二步:引导学生结合例4中的图形分析:

1、 若入射点是圆上的其它点,怎样求解?

2、 如果入射点是圆过A点的切线的切点,反射光线是什么?若入射点是圆心与A点连线的交点,反射光线又是什么?

总结:

1、本节课复习的主要内容有对称问题、圆的切线问题、最短路径问题。

2、曲线的对称问题的本质是点的轴对称和点的中心对称,点的轴对称注意抓住垂直、平分求解,并熟悉一些常见的对称结论。

3、圆的切线用判别式求解,但更应利用圆心到直线的距离等于圆的半径来求解,求解中注意斜率不存在的情况。

说明:

1、由一题展开去的递进式题组复习,既能提高学生的学习兴趣,更能将问题进行归类复习,使学生触类旁通以减负。

2、根据复习的需要进行题组编拟是问题的关键,根据复习进程及时设问提问,将问题引向更高一级的层次需要教师课堂教学的灵活性。

3、数学走向于应用,根据生活实际编题,结合其它科目编题,既可提高学生的学习兴趣,更是新高考的新要求。


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