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数学教学中学生思维灵活性培养的实践与体会


现代教育强调“知识结构”与“学习过程”,目的在于发展学生的思维能力,而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。数学知识可能在将来会遗忘,但思维品质的培养会影响学生的一生,思维品质的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。

高中学生一般年龄为15—18岁,处于青年初期。他们的身心急剧发展、变化和成熟,学习的内容更加复杂、深刻,生活更加丰富多采。这种巨大的变化对高中学生的思维发展提出了更高的要求。研究表明,从初中二年级开始,学生的思维由经验型水平向理论型水平转化,到高中一、二年级,逐步趋向成熟。作为高中教学教师,应抓住学生思维发展的飞跃时期,利用成熟期前可塑性大的特点,做好思维品质的培养工作,使学生的思维得到更好的发展。

教育心理学理论认为:思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关系概括的间接的反映。思维是认知的核心成分,思维的发展水平决定着整个知识系统的结构和功能。因此,开发高中学生的思维潜能,提高思维品质,具有十分重大的意义。

思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷供、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上,并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。在人们的工作、生活中,照章办事易,开拓创新难,难就难在缺乏灵活的思维。所以,思维灵活性的培养显得尤为重要。

思维的灵活性指思维活动的灵活程度,指善于根据事物的发展变化,及时地用新的观点看待已经变化了的事物,并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的灵活性主要表现于:(1)思维起点的灵活:能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。(2)思维过程的灵活:能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。(3)思维迁移的灵活:能举一反三,触类旁通。

如何使更多的学生思维具有灵活特点呢?在教学实践中作了一些探索:

一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性

美国心理学家吉尔福特(J·P·Guilford)提出的“发散思维”(divergent thinking)的培养就是思维灵活性的培养。“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息,其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出,很可能会发生转换作用。”

在当前的数学教学中,普遍存在着比较重视集中思维的训练,而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的,也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。

l、引导学生对问题的解法进行发散

在教学过程中,用多种方法,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案,用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。

<例>求证:

证法1:(运用二倍角公式统一角度)

    

证法2:(逆用半角公式统一角度)

    

证法3:(运用万能公式统一函数种类)设

    

证明4:(构法分母并促使分子重新组合,在运算形式上得到统一。)

    

证法5:可用变更论证法。只要证下式即可。

    

证法6:由正切半角公式,利用合分比性质,则命题得证。

通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法:(1)统一函数种类;(2)统一角度;(3)统一运算。

一题多解可以拓宽思路,增强知识间联系,学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。

2、引导学生对问题的结论进行发散

对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论.让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论,并进行求解。

<例>已知:(1), (2),由此可得到哪些结论?

让学生进行探素,然后相互讨论研究,各抒己见。

想法一:(1)2+(2)2可得(两角差的余弦公式)。

想法二:(1)×(2),再和差化积:

        结合想法一可知:

想法三:(1)2-(2)2再和差化积:

        结合想法一可知:可得

想法四;,再和差化积约去公因式可得:,进而用万能公式可求:

想法五:由消去得: ;消去可得(消参思想)

想法六:(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式:

    (1)-(2)并逆用两角差的正弦公式:

想法七:(1)×3-(2)×4:

    即

    

    则均可求。

开放型题目的引入,可以引导学生从不同角度来思考,不仅仅思考条件本身,而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论,有利于思维起点灵活性的培养,也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。

3、引导学生对问题的条件进行发散

对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后,尽可能变化已知条件,进而从不同角度和用不同知识来解决问题。

对于等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,显然,四个变量中知道三个即可求另一个(解方程)。如“{an}为等差数列,a1=1,d=-2.问-9为第几项”等等。然后,放手让学生自己编写题目。编题过程中.学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的适用范围等有全面的掌握。否则,信手拈来会闹出笑话。上题中,若改d=-3,则-9为第项,显然荒谬。如此,学生对于等差数列的通项公式与求和公式的掌握会比较全面,而且能站在较高层次来看待问题,提高思维迁移的灵活性。

二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高,以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养

由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的,处于有机的统一体中,所以,思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高。

1、思维的深刻性指思维过程的抽象程度,指是否善于从事物的现象中发现本质,是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。

<例>方程sinx=lgx的解有( )个。

 (A)1   (B)2   (C)3   (D)4

学生习惯于通过解方程求解,而此方程无法求解常令学生手足无进。若能运用灵活的思维换一个角度思考:此题的本质为求方程组的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图家交点问题,寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质,在思维深刻性的基础上,思维灵活性才有了用武之地。

2、思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面,又不忽视其重要细节的思维品质。要求学生能认真分析题意,调动和选择与之相应的知识,寻找解答关键。

<例>已知抛物线在y轴上的截距为3,对称轴为直线x=-1,在x轴上截得线段长为4,求抛物线方程。

解法一:截距为3,可选择一般式方程:

    显然有c=3,利用其他条件可列方程组求a,b值。

解法二:由对称轴为直线x=-1,可选择顶点式方程:

    显然有m=-1,利用其他条件可列方程组求a,k的值。

    另外,由图象对称性可知x轴上交点为(l,0)和(-3,0)。

解法三:由截距为3,即过三点(0,3)、(l,0)和(-3,0),

    可选择一般式方程:

    代人点坐标,列方程组求a,b,c值。

解法四:由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式:(必须与x轴有交点)

    显然;x1=-3,x=1。由截距3,可求a值。

在把握整体的前提下,侧重某一条件作为解答突破口,在思维广阔性的基础上,充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。

3、思维的敏捷性指思维活动的速度。它的指标有二个:一是速度,二是正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。

<例>相邻边长为a和b的平行四边形,分别绕两边旋转所得几何体体积为V(绕a边)和V(绕b边),

则V:V=( )

(A)a:b    (B)b:a    (C)a2:b2    (D)b2:a2

用直接法求解:以一般平行四边形为例。如图,可求:

则V:V=b:a,由于要引入两边夹角来求解,学生常无法入手。若以特殊的平行四边形 ──矩形来处理,则相当简便。

此题解法充分体现了思维灵活性,以简驭繁,用特殊化思想求解,解题迅速、正确。

4、思维的独创性指思维活动的独创程度,具有新颖善于应变的特点。思维的灵活性为思维的独创性提供了肥沃的土壤,为解题“灵感”的闪现提供了燃料。

在教学实线中,我常发现,学生提出富有个性的见解的时候,往往是“思维火花”闪烁的时候.

<例>求值:

  一般解法:

        

        

独特灵活的解法1:令

         则

         即,则原式

构造对偶式求解,思维灵活颇有独创牲。

解法2:构造1为直径的圆内接三角形,三个角为

    则可构成三角形三边长。

    逆用余弦定理:

    则原式

灵活的构想独特巧妙,数形结合思想得到充分体现。我在教学中比较注重学生解题思路的独特征、新颖性的肯定和提倡,充分给予尝试、探索的机会,以活跃思维、发展个性。

5、思维的批判性指思维活动中独立分析的程度,是否善于严格地估计思维材料和仔细地检查思维过程。我在数学教学中,鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见,注意引导和启发,提倡独立思考能力的培养。

<例>⊿ABC中,,求

大部分学生如此解:由可得;由可得,进而可求

有学生提出异议:

可知:,同理可知

知:不可能!即取不到。

故只有一解

学生对结论的可靠程度进行怀疑,在独立分析的基础上,灵活运用三角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围,严密论证了三角函数值取值的可能性。

三、灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导

教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用,而富有新意的学法指导能及时为学生注人灵活思维的活力。

“导入出新”──良好的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入可以激发学习兴趣和热情。以“创设情境”,“叙述故事”、“利用矛盾”、“设置悬念”、“引用名句”、“巧用道具”等新颖多变的教学手段,使学生及早进入积极思维状态。

“错解剖析”──提供给学生题解过程,但其中有错误的地方。让学生反串角色,扮演教师批改作业。换一个角度来考察学生的知识掌握情况,寻找错误产生的原因,以求更好的加深对知识的掌握。

“例题变式”──从例题入手,变换条件寻求结论的不同之处;变换结论寻求条件的不同之处;变换提出问题的背景,寻求多题一解;变换问题的思考角度,寻求一题多解;……以变来培养学生灵活的思维。

“编制试卷”──列出考查知识点、考查重点、试题类型,让学生自己编制一份测验试卷.并给出解答。使学生站在老师的角度体验出题心理,更好的掌握知识结构和思维方式。

“撰写小论文”──根据学习体会、解题经验、考试心得等等,撰写学科研究性小论文。选择比较好的指导修改并编辑出版,激励学生善于进行总结,培养良好的思维品质。

以上只是我在培养学生思维灵活性方面的一些实践和体会。

几年来,所教学生在经过有目的的培养后,思维品质都有了很大的提高。相应的,学生的学习质量也有了很大提高。许多学生进入大学、甚至走上工作岗位后,常常来信谈及虽然数学知识有许多已经遗忘,但老师教的数学思维方式却常令他们在工作、学习、生活中得益不少。

近年来,随着课程教材改革的推进,突出思维品质的培养已成为广大教师和教育工作者的共识。我要继续探索下去,以求获得更多的收获。

参考文献:

(1)《中学生学习心理学》 编写组著 广东高等教育出版社

(2)《中学生心理学》 林崇德著 北京出版社

(3)《数学教育学》 田万海著 浙江教育出版社

(4)《高中生心理学》 郑和钧/邓京华等著 浙江教育出版社

(5)《中学生素质教育》 徐仲安著 上海科学技术出版社


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