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在高三复习中开展数学探究的实践与思考


1 数学探究是新课程改革的需要

新一轮基础教育课程改革是以培养学生创新精神与实践能力为焦点,提出教学不只是传授知识的过程,也应关注学生潜能的开发、创新意识的形成.教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展.《普通高中数学课程标准》中也提出:倡导积极主动、勇于探索的学习方式,力求通过各种不同形式的自主学习和探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识.新《数学考试大纲》又明确提出"考查综合与灵活地运用所学数学知识、思想和方法,进行独立地思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题".可见高考对学生数学素质、探究能力的要求提到了相当的高度.因此,在数学教学中应积极开展探究教学,鼓励学生进行探究学习.

数学探究教学是指教师在课堂上巧妙地组织,让学生通过各种各样的探究活动,诸如观察、实验、猜想、论证、交流与讨论等,得出数学结论,使学生主动参与教学,并体验数学知识获得的过程,帮助学生逐步形成研究数学的积极态度,掌握研究数学的基本方法,发展研究数学的能力.数学探究学习是一种更为重视学生参与过程的学习方式,强调的是学生积极思考、钻研数学问题的意识,主动参与"做数学"的活动过程.数学探究学习不仅仅是学习方式的改变,而是通过学习方式的改变,促进每个学生全面发展,为每一个学生发展创造更为广阔的空间,是提高学生数学素质、培养学生能力的一条重要途径.而非探究学习,课程标准中有关情感、态度、价值观的很多目标是难以实现的.

2 数学探究是学生发展的需要

在高三数学复习之前,学生已学完了中学数学的全部内容,学生头脑中已积累了一定数量的数学知识,既有高中的数学知识,又有初中、小学的数学知识;既有代数方面的知识,又有几何方面的知识.同时在学习过程中学生的数学能力也得到了一定的发展,他们能运用数学知识、方法进行运算、推理和判断,运用数学语言去交流和表达,运用数学思想去分析、解决一些基本问题,这些正好为数学探究的有效开展提供了必备的基础.

传统的听课理解、记忆模仿、练习作业的单一的接受学习,已让学生对数学的好奇心几乎丧失贻尽,学习数学的兴趣愈来愈弱,使学生上数学课感到单调枯燥、乏味,昏昏欲睡,阻碍了学生智能身心的健康发展,学习效率低下.而探究学习正是为了弥补接受学习的不足,充分发挥学生主观能动性,变被动学习为主动学习,进而达到提高学习效率之目的.

3 当前高三数学复习课的现状

总的说来仍是以"满堂灌"为主的应试教学,具体表现在:一是课堂容量大,节奏快,学生疲于理解与消化,被动接受和记忆;二是面面俱到的"复印式"知识整理,没有突出重点、难点和热点;三是知识梳理简单罗列,没有建立系统完整的知识结构,使学生感到复习课是"炒冷饭",思维难以兴奋;四是注重例题的典型性,解题方法的可模仿性,练习设计与范例配套,突出求同思维;五是搞题海战术,重复训练,认为见多识广,熟能生巧,学生学苦,老师教得累;六是只讲结论,不讲过程,大量灌输解题规律,学生死记硬背,想象力、创造力逐渐减弱.

4 在复习备考中如何开展数学探究

高考数学复习是帮助学生梳理完善知识结构,务实基础知识和基本技能,使学生领悟基本数学思想方法,提高数学能力,发展学生的数学意识和提升数学素养的过程.高考数学命题也积极倡导"加强创新意识的考查,实现选拔功能".

社会建构主义理论认为:学生只有参与数学实践,参与问题探究,才能建立起自己的认知结构,才能灵活地运用所学知识解决实际问题,学生也才能有发展、有创新.数学知识、数学思想方法必须由学生在现实的数学活动中去理解和掌握,而不是单纯地依赖教师的讲解,依赖机械模仿的方式进行学习.因此在高考数学复习中,教师始终要坚持以学生为首位,要根据复习内容的特点,创设适当的问题情景,鼓励学生主动地发现数学规律和问题解决的途径,使他们重新经历知识形成的过程,通过亲身体验、内化,实现数学"再创造".从而逐步地提高学生的数学能力,提高学生学习的自主性.那么如何在数学复习中穿插、渗透数学探究呢?

4.1 让学生建构知识网络

高考数学复习之前,有的数学知识已被学生遗忘,有的数学知识学生模糊不清,有的数学知识虽被记住,但它们在学生头脑中是孤立的、零碎的、杂乱无章,而知识间是有层次有联系的,心理学研究表明,良好的认知结构有利于记忆理解、检索加工、提取应用.因此高三数学复习的一个重要任务就是让学生将新学知识重新理解记忆、"联珠编网",构建自己的知识结构网络.

在第一轮章节复习和第二轮专题复习过程中,鼓励学生自己建构知识结构图,必要时老师给予适当的帮助.具体的做法是:让学生先进行必要的回顾与阅读,找出本章或本专题的主要内容是什么,它们之间有何联系,是并列关系、递进关系,还是交叉关系、互推关系?再看各主要内容又包含哪些基本知识点,然后用框图式表格来表明这些知识的关系.

案例1 函数是高中数学的重点内容,是高考的热点而且分值高,也是学生学习的难点.函数内容多,与其他知识联系广.建立函数的知识结构图是高考复习的一个重要环节.下面是一学生经过多次修改的结构图.

通过此图使函数知识条理化、系统化,便于学生将它纳入自已的认识结构,也利于学生将它迁移到其它知识之中.通过探究知识结构图,一方面可加深学生对所学知识的记忆,理解知识间的联系,另一方面可以让学生体验知识网络的建构过程,培养学生归纳整理能力.

4.2 让学生剖析错误原因

高三学生许多题目不是不会做,而是做不对、做不全,经常出现一些惯性错误,诸如审题错误、运算错误、逻辑错误、表述不规范等,特别是选择某方法解决问题时,没有考虑该方法的适用条件、适用范围,使用该方法应注意的事项等.许多老师都有这样的体会,有些错误老师反复纠正,学生还是一错再错.因为纠错时老师直接把正确解法授给学生,或老师包办分析错误原因,学生成了接受信息的容器,没有真正参与纠错过程,纠错效果差是理所当然的.对于这类错误,老师一定要精心设计纠错过程,首先要让学生暴露自己的错误,不能由老师说这是经常出现的错误,再让学生通过观察、分析、验证、讨论、交流,老师适当引导,使学生真正看清楚错误的地方,真正弄清错误的原因,是题目条件结论看漏还是看错?是题意不懂还是想错?是概念定理、公式不熟还是理解出了偏差?是方法选择不当还是逻辑不严密?是思维定式的影响还是考虑问题不周密?是计算问题还是规范问题?真正弄清为什么不能这样做、这样写?只有这样训练,才能让学生记忆深刻,才能让学生以后痛改前非,同时也培养了学生辩证思维能力和自我纠错能力.

案例2 在求数列的通项时,学生最容易把时的当作通项公式,为纠正这一错误,我先让学生做习题:在数列中,已知.绝大部分学生答案为.解题过程大致是:

  ①

     ②

②—①得: 即    ③

累乘得:,又

初看起来天衣无缝,接着让学生反复阅读题目条件和解题过程,看学生能否发现问题.看到很多学生没有发现,我提示学生:题中,这样绝大数学生很快发现,题中,而结论中,矛盾,所以解答是错误的.那么问题出在哪儿呢?再让学生在解题过程中逐步查找,通过交流、讨论,学生终于发现了问题:受思维惯性影响,误把③式成立的条件当成了"",进一步让学生分析为什么③式成立的条件是""?学生马上便从③式的来历上找到了答案:因为①式成立的条件是,②式成立的条件是,③式等于②式减去①式.以下正确解法便不难得出.

4.3 让学生研究类典型问题

问题是数学的心脏,数学学习离不开解题.高考也是通过解题来考查学生数学素质的.一个思维信息量大、思维空间广阔的问题是开展数学探究的前提和保证.因此,在高三复习中,老师可以选择一些典型习题让学生开展一题多解,一题多变等方面的变式探究,或研究一些重点、难点问题进深层次研究,如函数的奇偶性、单调性、周期性和图象的对称性之间的联系,以达到复习知识、巩固方法、培养能力的目的.

案例3 复习不等式的证明,可用下题开展研究性学习:

题目 设,且,求证:

此题有哪些证法?学生很快用综合法、分析法得出了答案,具体过程为:

法1(综合法)

不等式得证.

法2(分析法)

要证明 由于,只需证明

即证明

由于,只需证明

即证明,最后不等式显然成立,不等式得证.

以上二种方法都是不等式的常用证法.

由于比较法也是常用方法,此题能否用比较法证明呢?经过分析条件与结论的差距,有部分学生尝试成功.

法3(作差比较)

0,即证:

如果教学就此止步,那就错过了培养学生探究能力、创新意识的绝好机会,此题的教育功能就会大打折扣.不等式的证明还有其他方法吗?能不能用它们证明这个不等式呢?一石激起千层浪,学生陷入了沉思摸索之中,下面是学生在老师的引导下,经过艰辛的探索得出的结果:

(一)换元法:

法4(均值换元)

,则,且

 ∴

移项因式分解得

法5(三角换元)

,令 ,代入

=

所以

(二)反证法

法6 假设,反复使用=2,则,这不可能,故

(三)构造法

法7(构造函数)

不妨设,则

引进辅助函数 求导得

 上单调递增,

法8(构造方程)

是方程的两根,则

  解得

法9 (构造均值不等式)

结论中等号成立的条件是

得:

两式相加得:

法10 (构造二项式)

因为 = +

所以

法11(构造数列)

成等差数列,不妨设,公差

,即

法12(构造向量)

 

再令   由

法13(构造立方体)

构造4个边长为和4个边长为的立方体.不妨设 ,将这8个立方体按下图拼接成边长为p+q的立方体,拼接过程中,将多余部分(图1中阴影)挖去,显然有

法14(构造曲线)

在直角坐标系中作出直线、圆,并借助几何画板或图形计算器作出三次曲线 的图象.

如图2 ,

图2

法15(构造分布列)

由于,设离散型随机变量的分布列为:

P

,由

,所以 ,即

在探索解法过程中,你有哪些启示,你还能变换条件或结论得出其它问题吗?你能类比或联想得一些不等式吗?你能证明或否定它们吗?把你的所思所想记录下来,让我们共同分享吧!下面是学生的所得的一些变式题.

变式1:(改变结论)若

变式2:(改变条件)若

变式3:(弱化条件)若 ,则

变式4:(推广)若,则

变式5:(引申)若

变式6:(条件、结论互换)若

变式7:(再引申)若

变式8:(再推广)若 ,则

波利亚说"好问题同某种蘑菇有类似的结论,大都成堆的生长,找到一个以后,你应当在周围找找,很可能在附近就有几个".本案例通过一题多解,一题多变的探究,既复习了不等式的证明方法,又加强不同章节知识间的联系,优化了学生数学的思维结构,享受到了成功的快乐.

4.4 利用信息技术开展数学探究

现代信息技术的发展为学生开展数学探究开辟了新的局面,网络资源、数学软件为数学探究提供了新的平台和新的手段.其中几何画板、TI图形计算器便是大家公认的优秀数学软件,它们具有强大的数据处理功能、函数功能、图形功能、交互式动态几何功能,利用它们可以进行一些数理实验,绘制各种图形并进行动态演示、跟踪轨迹,为探索数学奥秘构建了一个理想的实验室,给学生的发展提供了巨大的探索与实验空间.

在高三复习过程中,经常遇到一些创新性的、难度较大的问题或者较抽象的问题,对于这类问题,学生一般无从下手,这时就可以利用信息技术的优势进行验算、数据分析、作出图形、追踪轨迹,由特殊到一般,由直观到抽象,发现规律,然后进行理性问十答十研究.

案例4 (2003年全国高中联赛15题)一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点A/刚好与A点重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当A/取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.

这道题对学生来说有一定的困难,难就难在画图.但利用几何画板或图形计算器便很容易显示这些折痕的所在轨迹,是以O、A为焦点的椭圆的外部(如图3),而且还可以进一步探索当点A在圆O的外部时,则折痕所在直线上点的集合是一双曲线的外部,最后利用圆锥曲线的定义去证明.

借助信息技术,学生利用各种软件,可以亲手处理数据或绘制图形,对问题进行主动试验、猜想、推断、发现探索,验证新知识,对学习对象进行多维表征以及多样化的应用,从而完成对知识意义的构建,达到对知识的全面理解,这样通过多维表征所建构的知识,能较好地迁移到其他领域,也能使学生有更多的机会动手动脑、思考与探索,学到科学的研究方法,获得丰富且多方面的体验,在真正意义上尊重学生的创造性,充分挖掘学生的潜力,有力促进学生创新精神和实践能力的发展.

5 开展数学探究应注意的问题

5.1 选择合适的探究性问题

任何一个探究性问题都需要有一定的"知识附着点",即对学习新知识、解决新问题起支撑作用的原有知识,或者说将其固定于原有认知结构中的那些知识.潜在距离是指"知识附着点"与新的认知目标之间的距离,亦即新旧知识(问题)的接近程度.探究性问题的设计应注意潜在距离的分析,因为"知识附着点"与所探问题的潜在距离的大小,直接影响探究活动的难易稳度和教学水平,一般来说,当两者的潜在距离较小时,容易为学生所理解和掌握,没有探究的价值.当两者的潜在距离过大时,虽能增加探究问题的挑战性,激发学生的探索欲望,但容易使探究活动难以展开,老师也难以调控.因而在实施探究教学时,必须选取难易适度的学习材料,所探究的问题应在学生思维的最近发展区.

5.2 老师给与适当的指导

由于探究学习并不是把知识从外界搬运到记忆之中,而是以已有的经验为基础,通过与外界的相互作用来建构新的理解,因此相应的教学过程就应呈现动态性和生成性,即不仅要求学生积极主动、自主探究,更要求教师给出必要的、科学的、有效的指导,这也就是说,教师在学生探究活动中不应是旁观者的角色,而就主动地"介入".但要注意三点:(1)选择适当的介入时机,介入过早,就可能打破学生已形成的探究氛围;介入过晚,就可能使得探究活动因无序而无法进行;(2)选择恰当的脚手架,对"潜在距离"较大,即探究路径由较多认知节点构成(或某些节点的间距过大)的探究问题而言,教师的重要任务就是搭建合适的"脚手架",使学生能"跳一跳,够得到";(3)选择恰当的介入方式,教师既是外部监控者,又是参与者和支持者,从而相应的指导方式也应多元化,除去上述的搭建"脚手架"外,还有对话式(民主平等的对话交流),暴露式(暴露教师自己的思路)等.


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