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注重知识产生过程，让学生在探索中学习

《等差数列的前n项和》是高中数学人教A版必修⑤第二章第2.3节内容。这部分内容Z老师经过了两种旧教材的教学，积累了一些经验。根据高中数学新课程标准的要求，结合自己的教学经验，Z老师决定对课堂教学加以改进，以体现新课标的理念──“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”。

本文试图以“数学任务框架”的理论为基础，对Z老师的这堂课加以剖析，反思这堂课的得与失。

一、分析框架

在数学课堂上，师生的活动主要是围绕数学任务展开的，当原有的数学任务进入课堂，这就与老师和学生的目标、意图、行为及相互作用相联系。数学任务是一个连续的过程，通常可以分为三个阶段。用以下图示来说明。

数学任务的特性可以用两个因子来描述。一是任务性能，另一个是任务的认知要求。所谓任务性能，指的是对于发展学生的思维、推理和使数学有意义等能力必须要考虑的那些重要方面。包括：多样化的解题策略、多样化的表征形式、数学交流。所谓任务的认知要求，指的是完成任务所需要的思维类型或认知加工水平。

根据已有的数学任务水平分类可以把数学任务的认知要求分为3种类型或层次：

（1）记忆。任务的完成是为了记住一些已学过的数学事实（公式、法则，程序或算法），不需理解。

（2）理解。任务完成依据已有的程序或算法来完成，但需要深层次的理解。

（3）探究。任务完成不能依靠已有程序或算法，也没有例题可参考，需要复杂思维探索本质。

数学任务研究的一个中心议题是一旦将任务释放到真正的教室环境中，它们能在多大程度上改变自己的特性。如设计为复杂的非算法化的任务，常常会转化成程序型、记忆型甚至无系统的探究或非数学的活动。

在进行数学教学反思时要注意以下两点：

（1）你使用的任务在多大程度上与学生的学习目标相匹配；

（2）你的学生能拥有多大的机会从事于需要进行复杂的、非算法的数学思维和推理的任务。

二、Z老师的主要课堂教学行为

过程	课堂教学行为
复习	等差数列的通项公式
公式推导	给出一个简单等差数列（偶数项），让学生求和，前1项和，前2项和，…
	让学生观察规律，计算前100项的和。
	1名学生得到正确结果
	追问是如何得到的
	评价学生的结果，并询问其他同学的方法是否一样？
	根据前面计算，让学生猜测等差数列的前项和公式，
	1名学生回答，追问依据（倒序相加）
	让学生讨论第2位同学的方法，提问有无其它方法。
	1名学生回答。（首尾配对）
	老师评价，让学生计算另一情况（奇数个项）
小结	表扬学生善于观察，从不同角度得到求和公式
公式推导	让学生观察求和公式，提问还有没有其它表达形式？（给学生一点时间）
	1名学生回答将通项公式代入可得另一形式（课本上处理）。
	让这名学生板书过程。并让学生观察第二个公式的特点。
	1名学生回答。此时提问有没有其它方法推导出第二个公式？
	经过一段时间，有学生提出可以每个项都用首项和公差表示
	经过老师的引导，各项累加得到求和公式
小结	提出公式的两种表示的联系以及第二个求和公式的一般表示（特殊二次函数）
小结	让学生观察公式，产生类比（梯形面积公式）
解题	出示例1，学生练习，老师巡视（课本例题改编）
	出示例2，让学生一题多解（课本例题改编）
	比较解法
课堂小结	注重公式的推导过程，不迷信书本，解题要想多种解法。布置作业

三、案例分析

Z老师在组织任务时经过了复习设问、推导公式、公式应用等环节。首先引导学生从一般到特殊的方法来探究等差数列前n项和公式，然后在公式的应用阶段注意变式训练，提倡一题多解，保持了课堂的完整性。

在数学任务实施的阶段，本堂课保持了任务的高认知水平，让学生通过观察→归纳、猜想→证明，经历了从特殊到一般的学习过程。本堂课主要有以下几个特点：

（一）创造了开放性的课堂教学

Z老师把数学教学看成是师生共同学习、共同探索数学规律的活动过程，鼓励学生发表意见，相互质疑，让学生参与到课堂教学中。表面上课堂有点乱，但整个课堂教学是组织有序的。

（二）通过老师提问、评论或反馈不断地强调证明、解释

在学生得到公式或解决问题后，Z老师通过数次追问，如“你是怎样推导出来的”、“有什么依据”、“有其它方法吗”、“是否还有其它解法”，强调学生对知识、算法本质的理解，并能进行自我监控，提高问题解决的能力。提问后，Z老师给学生提供足够的思考空间，以保证学生能进行发现、探索。

（三）建立了公式之间的联系

Z老师通过引导学生观察、归纳，让学生在等差数列的两个求和公式之间以及第二个公式与通项公式之间建立了有意义的联系；说明了第二个公式与二次函数之间的联系。这样有利于学生体会知识之间的内在联系，建立良好的认知结构。

（四）利用学生的高水平示范，体现学生主体地位

在推导公式的过程中，Z老师让三位同学示范自己的推导过程，并接受其它同学的质疑。在利用公式解题时第一题让学生示范解答，第二题让学生示范两种不同的解法，然后老师总结。从而体现学生是学习的主体，老师不过是学习的组织者、引导者。在问题解决过程当中，注意变式的应用，保持了数学教学任务的高认知水平。

（五）本堂课的不足之处

因第一次按课标的要求处理这节内容，难免存在一些不足之处。

（1）在课堂上“放”的尺度把握上还有点欠缺，当学生学习出现困难时，引导过多，降低了任务的认知水平。

（2）无意中存在“座位偏好”、“学生偏好”的风格，影响了其他学生的学习兴趣和参与意识，从而降低了任务的性能和认知要求。

（3）对学生的数学创造思维激发不够。如在归纳第一个求和公式时，还可以这样处理：

1＋2＝?　　　　（2×3/2＝？）　　　　 1＋2＋3＝?　（3×4/2＝？）

　　1＋2＋3＋4＝?　（4×5/2＝？）　　　　 1＋2＋3＋4＋5＝? （5×6/2＝？）

……

只要学生观察出其中的规律，就很容易归纳出求和公式。这样能训练数学思维的深刻性和灵活性，摆脱思维定势的影响。

总之，Z老师的这堂课是对旧教法的一次挑战，保持了数学任务的高认知水平，充分体现了教与学的双主地位。利用“数学任务框架”对数学课堂教学进行反思，能帮助我们站在理论的高度审视我们的教学行为，找出不足，关注学生在数学课堂上真正在做什么和想什么，使学生在熟练掌握数学技能的同时提高数学创造能力。