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数学实验教学模式探究

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　　数学教学中是否需要“实验”，对此还存在着认识上的偏差。从本质上来讲，影响和制约数学教学模式变革最直接最根本的动因是数学本身，或者说是数学的哲学基础，“事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也如此”^［l］

　　长期以来，人们对数学教学的认识就是概念、定理、公式和解题，认为数学学科是一种具有严谨系统的演绎科学，数学活动只是高度的抽象思维活动。但是，历史表明，数学不只是逻辑推理，还有实验。G·波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”^［2］弗赖登塔尔也曾指出：要实现真正的数学教育，必须从根本上以不同的方式组织教学，否则是不可能的。在传统的课堂里，再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动。^［3］

　　不过，传统的数学观仍然认为，即使数学需要实验也只不过是纸上谈兵，也只是进行所谓的思想上的实验（欧拉、拉卡托斯称之为“准实验”）；教学过程中，学生的数学活动只是“智力活动”，或更为直接地说是解题活动，数学家在纸上做数学，数学教师在黑板上讲数学，而学生则每天在课堂上听数学和在纸上做题目。这样，对多数学生而言，数学的发现探索活动没有能够真正开展起来。

　　计算机的出现改变了数学只用纸和笔进行研究的传统方式，给数学家的工作带来了最先进的工具，丰富和发展了“数学实验”的内涵，特别是利用计算机成功地解决“四色问题”对数学领域产生了巨大的影响。一些数学家“正在创立一种新的做数学的方法，即主要通过计算机实验从事新的发现。由于这种研究方法是与传统方法很不相同的，因此，在这些数学家看来，计算机的使用正在改变数学的性质；数学正在成为一门‘实验科学’”^［4］。

　　20世纪70年代末，我国数学家吴文俊从中国传统的数学机械化思想出发，创立了几何定理机器（计算机）证明的“吴方法”，实现了利用计算机进行推理证明的突破，获得了国内外学术界的高度称赞与广泛重视，他因此获我国首届重大科技成果奖。近年来，有关数学实验的书籍及论文如雨后春笋般纷纷展现在人们面前。美国的Mount Holyke College数学系于1989年起在本科的教学计划中，增加了一门大学二年级水平的导引性课程──数学实验室。施普林格出版社出版了该大学编写的《数学实验室》一书。我国高等教育出版社于1998年将其译本出版发行，国内有些大学也将数学实验列为数学系的必修课。近年来在计算机辅助教学领域里出现了多种支持数学教学实验的硬件和软件技术，具有代表性的有“MATHE－MATICA、MAPLE、MATLAB、MATHCAD、几何面板以及专门以数学教学实验室形式开发的图形计算机器（T1－83或T1－92）。

　　一、数学实验教学模式的内涵

　　在数学领域里，对数学实验有不同的理解和内涵。本文的数学实验不是指“思想实验”，而是指类似于物理实验、化学实验等的科学实验。但由于学科性质不同，数学实验又不同于一般的科学实验。根据科学实验的定义以及数学学科的特点，数学实验的概念可以界定为：为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在特定的实验环境下进行的探索、研究活动。

　　其实，过去数学教学中的测量、手工操作、制作模型、实物或教具演示等形式就是数学实验的形式，只不过是为了帮助学生理解和掌握数学概念、定理，以演示实验、验证结论为主要目的，很少用来进行探索、发现、解决问题。而现代数学实验主要是以计算机数学软件的应用为平台，结合数学模型，模拟实验环境进行教学的新型教学模式整个实验过程中强调学生的实践与活动，学生可以采用不同的实验程序，设计不同的实验步骤。现代数学实验更能充分发挥学生的主体作用，更有利于培养学生的创新精神和发现问题的能力，因而是一种新型的数学教学模式。本文侧重讨论的就是利用计算机技术进行的现代数学实验教学模式。

　　数学实验教学模式，通常由教师（也可以由学生自己）提出明确的问题情境，让学生在计算机提供的数学技术的支持下做教学实验，利用小组合作学习或者组织全班讨论，开展研究性学习活动；实验过程中，依靠实验工具，让学生主动参与发现、探究、解决问题，从中获得数学研究、解决实际问题的过程体验、情感体验，产生成就感，进而开发学生的创新潜能。

　　利用计算机进行数学实验教学，不仅是开展数学研究性学习的一种有效方式，而且也为计算机教学的开展提升了层次。引进数学实验以后，数学教学可以创设一种“问题──实验──交流──猜想──验证”的新模式。数学教学采取何种模式，从某种程度上取决于数学教育的目的，而这又与教学的现状、社会对数学的需求密切相关。知识经济时代对创新人才的需求与数学教育中忽视学生创造性能力培养的矛盾日益凸显。在教学中倡导研究性学习，引进数学实验，以及由此引发的教学模式的变革，与当前社会对数学教育的需求是一致的。

　　二、数学实验教学模式的基本环节

　　数学实验教学模式的基本思路是：从问题情境（实际问题或数学问题）出发，学生在教师的指导下，设计研究步骤，在计算机（器）上进行探索性实验，发现规律、提出猜想、进行证明或验证。根据这一思想，教学模式一般主要包括以下五个环节。

　　（一）创设情境。创设情境是数学实验教学过程的前提和条件，其目的是为学生创设思维场景，激发学生的学习兴趣。英国实用主义教育家、哲学家斯宾塞在《什么是最有价值的知识》一文中明确提出：“科学起源于人生的需要，无论个人或全种族，其所取的途径必由具体以达抽象……所以，每门科学必须以纯粹经验为之先导；等到观察积累了丰富的材料后，推理才能开始。”^［5］

　　问题情境的创设要精心设计，要有助于唤算起学生的积极思维数学教学中，创设合适的问题情境，应注意以下几个方面：（1）合理运用文字与动画组合。问题情境呈现清晰、准确，这是最基本的要求。（2）具有可操作性便于学生观察、思考，从问题情境中发现规律，提出猜想，进行探索、研究。（3）有一定的探索性问题的难度要适中，能产生悬念，有利于激发学生去思考。（4）简明扼要。创设情境不宜过多，过于展开，用时也不要太长，以免冲淡主题，甚至画蛇添足。

　　（二）活动与实验。这是这种教学模式的主体部分和核心环节。教师根据具体情况组织适当的活动和实验；数学活动形式可根据具体情况而定，最好是以2－4人为一组的小组形式进行，也可以是个人探索，或全班进行。这里教师的主导作用仍然是必要的，教师给学生提出实验要求，学生按照教师的要求，在计算机（器）上完成相应的实验，搜集、整理研究问题的相关数据，进行分析、研究，对实验的结果作出清楚的描述。这一环节对创设情境和提出猜想两人环节起承上启下的作用。

　　例如，利用软件“几何画板”（或“MATH－CAD”等其他软件）在课本中习题“一条长度为2的线段AB，端点在坐标轴上运动。从坐标原点向AB引垂线，垂足为M，求垂足M的轨迹”时，首先在屏幕上给出动态演示，接着一步一步地启发学生导出动点M轨迹的极坐标方程P=sin2θ，并在屏幕上显示出它代表的四叶玫瑰线，然后启发引导学生猜猜看极坐标方移P＝sinnθ表示的曲线是什么形状？学生利用计算机又可以自由地做实验，键入不同的n值，各种美丽的花瓣便出现在屏幕上。这时学生们兴奋极了，实验出现了原来未预料到的结果。但是当n＝0．1，0．5，1．5，3．7…时，屏幕出现了并非花瓣的曲线──产生了认知冲突，激发了学生的好奇心和求知欲，这是传统的方式所无法达到的效果。

　　著名的数学家、数学教育家G?波利亚总结出了数学学习过程的三条原则，其中第一条是“主动学习”，认为“学习过程是积极的……自己头脑不活动起来，是很难学到什么东西的”。^［6］学习通过“做数学”来学习数学，在教师的指导下，通过观察、实验去获得感性认识，有利于学生以一个研究者的姿态，在“实验空间”中观察现象，发现问题，解决问题，进而培养学生的想象力、解决实际问题的能力及严谨的科学态度和数学情感。

　　（三）讨论与交流。这是开展数学实验必不可少的环节，也是培养合作精神、进行数学交流的重要环节。让学生积极主动地参与到数学实验活动中去，对知识的掌握，思维能力的发展，学业成绩的提高以及学习兴趣。态度、意志品质都具有积极的意义。在学生积极参与小组或全班的数学交流和讨论的过程中，通过发言、提问和总结等多种机会培养学生数学思维的条理性，鼓励学生把自己的数学思维活动进行整理，明确表达出来。这是培养学生逻辑思维能力和语言表达能力的一个重要途径。

　　数学交流是现代数学教学中的一个新课题，把实验与交流结合起来凸现了数学知识的形成过程，提倡学生使用计算机（器）可以为学生学习数学提供便捷的实验环节，并且学生使用计算机（器）做数学实验的过程也是一条很好的数学交流途径。

　　（四）归纳与猜想。归纳与猜想这一环节和活动与实验、讨论与交流密不可分，常常相互交融在一起，有时甚至是先提出猜想，再通过实验验证。提出猜想是数学实验过程中的重要环节，是实验的高潮阶段；根据实验观察到的现象进行数据分析，寻找规律，通过合情推理、直觉猜想，得到结论是数学实验的教学目标实现程度的体现，是实验能否成功的关键环节。^［7］

　　G·波利亚曾经这样高度评价过猜想的作用：仅仅把数学视为一门论证科学的看法是偏颇的，论证推理（即证明）只是数学家的创造性工作成果，而要得到这个成果则必须通过猜想。猜想是一种灵感，要产生灵感，除了必须具有一定的数学修养外，还应该对面临的问题有比较深刻的理解

　　（五）验证与数学化。提出猜想得出结论，并不代表实验结束，还需要验证，通常有实验法、演绎法和反例法。

　　提出猜想是科学发现的一个重要步骤，目前开展研究性学习，培养学生的创新意识，开发学生的创新潜能，需要猜想。但数学不能仅靠猜想来行事，验证猜想是科学精神、思想以及方法不可或缺的关键程序，是对数学实验成功与否的“鉴定”。教师有必要引导学生证明猜想或举反例否定猜想，让学生明白，数学中只有经过理论证明而得出的结论才是可信的。

　　三、开展数学实验教学亟待解决的问题

　　从目前来看，广泛开展数学实验教学还存在着以下几个亟待解决的问题。

　　（一）对于传统教学，数学实验用时较多，而中学数学课程内容多，学时少，为完成教学计划及应付中考、高考，时间宝贵，有人甚至认为没有时间进行数学实验。事实上，开展数学实验，不仅在于对数学知识本身的探求，还在于数学知识的应用。数学实验是数学体系、内容和方法改革的一项尝试，有利于培养学生的主动性、创造性和协作精神，有利于促进学生整体素质的提高。数学实验教学模式不是要取代其他教学模式，而是对传统教学模式的有益补充。在中学开展数学实验、研究性学习符合素质教育的要求，具有长效性。

　　（二）在中学常规的教学中，开展数学实验教师面临来自专业素质方面的油价挑战：一方面，对大多数中学教师来说，对计算机知识相对生疏。而利用计算机开展数学实验需要较多计算机知识，有时甚至要用到简单的程序设计知识；另一方面，开展数学实验，需要教师具有更强的数学知识和科研能力，这就对教师素质提出了更高的要求。

　　（三）开展数学实验教学需要计算机硬件的支持，由于我国的经济发展不平衡，有些经济不发达地区的学校购买实验仪器设备还有一定的困难，这给推广数学实验造成了客观上的障碍和阻力。值得高兴的是，如今计算机及其网络技术发展迅猛，价格不断下降，对创建数学实验室提供了便利条件。为适应信息技术教育的需要，应克服困难逐步建立数学（计算机）实验室，开展数学实验，让理论与实践接轨。

　　数学实验教学是一种新型的数学教学模式，这一教学模式的产生是现代数学发展的必然产物。数学本身的这种发展走向预示着在新的数学教学改革中，数学实验教学模式具有强劲的生命力。

　　注：

　　［1［英］PaulErnest。数学教育哲学［M］。上海：上海教育出版社，1998．5。

　　［2］［美］G·波利亚怎样解题［M］阎育苏译。北京：科学出版社，1982．11。

　　［3］弗赖登塔尔。作为教育任务的数学［M］。陈昌平，唐瑞芬译。上海：上海教育出版社，1995．150。

　　［4］郑毓信，王宪昌，蔡仲。数学文化学［M］。成都：四川教育出版社，2001，19

　　［5］张焕庭。西方资产阶级论著选［M］。北京：人民教育出版社，1979．439

　　［6］［美］G·波利亚。数学的发现（第二卷）［M］。北京：科学出版社，1987．478

　　［7］殷红，李忠海。中学数学实验的教学模式探讨［J］。数学教育学报，2001．10（3）：75。